9 Jan

不可能事件——一道经典电磁感应题的错误

相信高二理科的学生都会做过这样的一道题目:

光滑导轨-电磁感应

光滑导轨-电磁感应

水平放置于匀强磁场中的光滑导轨上,磁感应强度为B,平衡导轨的距离为L,有一根导体棒ab,用恒力F作用在ab上,由静止开始运动,回路总电阻为R,求ab的最大速度。

对于高二学生来说,这样的题目是很好解决的。只要列出
$E=BLv,I=\frac{E}{R},f_1=BIL$,并根据当匀速运动时速度最大,由受力平衡有$f_1=F$,解得
(E:感应电动势;I:感应电流;f1:安培力)
$$v=\frac{FR}{B^2 L^2}$$

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30 Apr

蘑菇的最优形状模型

淡白口蘑

淡白口蘑

达尔文的进化学说告诉我们,自然界总是在众多的生物中挑出最能够适应环境的物种,赋予它们更高的生存几率,久而久之,这些物种经过亿万年的“优胜劣汰”,进化成了今天的千奇百怪的生物。无疑,经过长期的选择,优良的形状会被累积下来,换句话讲,这些物种在某些环境适应能力方面已经达到最优或近乎最优的状态(又是一个极值问题了)。好,现在我们来考虑蘑菇。

蘑菇是一种真菌生物,一般生长在阴暗潮湿的环境中。喜欢湿润的它自然也不希望散失掉过多的水分,因此,它努力地调整自身的形状,使它的“失水”尽可能地少。假设单位面积的蘑菇的失水速度是一致的,那么问题就变成了使一个给定体积的立体表面积尽可能少的问题了。并且考虑到水平各向同性生长的问题,理想的蘑菇形状应该就是一个平面图形的旋转体。那么这个旋转体是什么呢?聪明的你是否想到了是一个球体(的一部分)呢?

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14 May

“二体+恒力”问题

看完了“双不动中心”问题,我们不妨再来看一个貌似简单一点的力学问题,在一个固定质点的引力吸引的基础上,增加一个恒力作用,研究这样的力场中小天体的运动。

咋看上去这个问题比“双不动中心”简单多了,至少运动方程也显得更简单:
$$\ddot{vec{r}}=-GM\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}+\vec{F}$$

其中$\vec{F}$是一个常向量。不过让人比较意外的是,这个问题本质上和“双不动中心”是一样的,它可以看作是双不动中心问题的一个极限情况。而且它们的解法也是惊人地相似,下面我们就来分析这一个过程。

首先很容易写出这个方程的能量守恒积分:
$$1/2 \dot{vec{r}}^2-GM\frac{1}{|\vec{r}|}-\vec{F}\cdot \vec{r}=h$$

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8 Jul

一道比较函数大小的题目

前几天刚结束的云浮高二期末考数学试卷中,有一道题目让我比较深刻。因为在当时我无法去证明它,只是用了举例子的方法得出了答案。刚才思考了一下,在此给出证明过程。题目如下:

定义在(0,+∞)的函数f(x)满足$x f'(x) \leq f(x)$,对于任意的0 < a < b,比较$a f(b)$和$b f(a)$的大小。

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19 Jul

一道整数边三角形题目

这是一道来自“数联天地”的题目:

三边长均为整数的三角形,周长为1000,其中一个内角是另外一个内角的两倍。求三边长度

咋看上去这是一道几何题目,但实际上这是一道初等数论题,而且主要是不定方程问题。类似的题目在数学竞赛中其实有可能出到,在这里和大家探讨一番。话说回来,其实笔者小时候很喜欢数论方面的内容的,在小学和初中,经常围绕着“素数”、“完全数”、“亲和数”、“大数分解”等等名词钻研看书。现在学习了微积分等内容之后,兴趣逐渐转向了实用性较强的数学,因而数论内容的水平不高,大家见笑了。

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13 Aug

对称多项式不等式的“物理证明”

本文将再次谈到对称这个话题,不过这一次的对象不是“等式”,而是“不等式”。

在数学研究中,我们经常会遇到各种各样的函数式子,其中有相当一部分是“对称”的。什么是对称的函数呢?对称有很多种说法,但是针对于多元对称式,我们的定义为满足$f(x_1,x_2,...,x_n)=f(y_1,y_2,...,y_n)$的函数,其中$(y_1,y_2,...,y_n)$是$(x_1,x_2,...,x_n)$的任意一个排列。通俗来讲,就是将式子中任意两个未知数交换位置,得到的式子还是和原来的式子一样。例如$\sin x+\sin y$,把$x,y$交换位置后得到$\sin y+\sin x$,还是和原来的一样;再如$xy+yz+zx$,将y,z互换后可以得到$xz+zy+yx$,结果还是和原式一样;等等。有些对称的函数是一个n次的多项式,那么就叫它为n次对称多项式,上边的例子$xz+zy+yx$就是一个三元二次对称多项式。

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30 Jun

抛物线内一根定长的弦

高考成绩出来了,不是很理想,不能进入很理想的高校。不过不管到了哪里,我都会一直延续我的科学梦,醉心于数学物理研究。昨天志愿填报也完成了,所以高考的事情暂时也告一段落了,接着就等通知了。

接下来的几篇文章可能会探讨一些有趣的轨迹问题,是和圆锥曲线有关的,它们基本都是在高考前两周的时间内完成的。先看最简单的一个,抛物线$y=x^2$内有一条定长为a的弦,求弦的中点轨迹,并探讨轨迹的最低点位置。

抛物线里边的定长弦

抛物线里边的定长弦

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6 Feb

轻微的扰动——摄动法简介(2)

为了让大家更加熟悉摄动法的基本步骤,本文再讲一个用摄动法解代数方程的例子。这是从实际研究中出来的:
$$\begin{eqnarray*} x=\frac{k(1+k^2+k^4+l^2)}{2(1+k^2)^2} \\ k=\frac{dy}{dx}\end{eqnarray*} $$

这是一道微分方程。要求解这道方程,最好的方法当然是先从第一式解出$k=k(x)$的形式然后再积分。但是由于五次方程没有一般的显式解,所以迫使我们要考虑近似解。当然,一般来说熟悉mathematica的人都会直接数值计算了。我这里只考虑摄动法。

我们将原方程变为下面的形式:
$$x=\frac{k}{2}[1+\frac{l^2}{(1+k^2)^2}]$$

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