对称多项式不等式的“物理证明”
By 苏剑林 | 2011-08-13 | 39805位读者 |本文将再次谈到对称这个话题,不过这一次的对象不是“等式”,而是“不等式”。
在数学研究中,我们经常会遇到各种各样的函数式子,其中有相当一部分是“对称”的。什么是对称的函数呢?对称有很多种说法,但是针对于多元对称式,我们的定义为满足f(x1,x2,...,xn)=f(y1,y2,...,yn)的函数,其中(y1,y2,...,yn)是(x1,x2,...,xn)的任意一个排列。通俗来讲,就是将式子中任意两个未知数交换位置,得到的式子还是和原来的式子一样。例如sinx+siny,把x,y交换位置后得到siny+sinx,还是和原来的一样;再如xy+yz+zx,将y,z互换后可以得到xz+zy+yx,结果还是和原式一样;等等。有些对称的函数是一个n次的多项式,那么就叫它为n次对称多项式,上边的例子xz+zy+yx就是一个三元二次对称多项式。
对称有什么好处? #
BoJone已经在之前的一些文章中提到过“对称”有助于我们最初解答,例如对称的物理系统中比较容易求出首次积分,诺特定理也告诉我们物理系统的对称对应着守恒定律。当然,这些说法都是很抽象的,只有学习到了理论物理知识才会有比较深的体验。那么对于我们来说,对称能够帮助我们什么呢?这里仅仅举一个例子:多项式展开。
例如我们要展开(a+b+c)3,除了按照四则运算按部就班地算外,我们还有一个办法:待定系数法,这也是计算机代数证明中用到的方法。我们知道(a+b+c)3的展开式中必定会有a3,b3,c3这三项,而且由于(a+b+c)3是对称的式子,换句话说,a,b,c的“地位”是等价的,因此(a+b+c)3的展开式中必定会有一部分是这个形式的:λ1(a3+b3+c3);接下来我们又可以想(a+b+c)3的展开式中必定会有a2b这一项,同时还有a2c,b2a,b2c,c2a,c2b这五项,我们不应该着眼于这些项的a,b,c字母,而是看出它们的本质:它们都是其中一个未知数的平方乘上另外一个未知数,于是这六项的地位也是等价的,于是(a+b+c)3的展开式中必定会有λ2(a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b)。最后一项是λ3abc,于是我们知道:
(a+b+c)3=λ1(a3+b3+c3)+λ2(a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b)+λ3abc
究竟λ1,λ2,λ3是多少,我们只需要将三组数据代入就可以得到具体数值,这是一道三元一次方程组。试想,要是a,b,c是不对称的,那么我们就得给上面的每一项都设置一个未知的系数(共有10项),代入具体数据,然后我们就会得到一道十元一次方程组。可见,对称性让我们大大减少了计算量。其实对称的好处还有很多,不妨再往下看?
对称不等式 #
对了准备即将来临的数学竞赛,BoJone还算深入地研究了一下不等式的证明,尤其是n次对称不等式。我们发现,数学竞赛中对称不等式的证明是比较多的。例如已知非负数x,y,z满足x+y+z=1,在1984年的IMO上要我们证明
0≤xy+yz+zx−2xyz≤727
在去年的广东省数学竞赛预赛题中也有类似的题目,它要我们证明:
9xyz≤xy+yz+zx≤14(1+9xyz)
在第41届IMO中,已知xyz=1,要我们证明
(x−1+1y)(y−1+1z)(z−1+1x)≤1
还有类似的
1√1+8x+1√1+8y+1√1+8z≥1
简单的例子还有我们常见的平均不等式x3+y3+z3−3xyz≥0等。例子还有很多,就不一一列举了。下面介绍一种不等式的“物理证明”。一般来看,它不是一种很好的证法,甚至可以说是一种“丑陋的证明”,但是却是一种在许许多多情况下行之有效的办法。
统一量纲 #
现在我们把所有的未知数看成是具有长度量纲的量,而所有的常数看成是零量纲的量。在数学上经常看到诸如a−1的式子,但是在物理中是绝不能出现的,因为这意味着一个有量纲的量减去无量纲的量,这是不成立的。而我们注意到在上面的一些例子中,如4(xy+yz+zx)−9xyz≤1,左端是“长度的平方和,减去长度的立方”,右端是零量纲,这显然是不成立的。于是我们要“统一量纲”,怎么统一呢?利用已知条件x+y+z=1,令
{x=aa+b+cy=ba+b+cz=ca+b+c(a,b,c是任意正数)
代入就得到:
4(a+b+c)(ab+bc+ca)−9abc≤(a+b+c)3
这样我们必须证明上式对于任意a,b,c都成立,可以发现,上式每一项都具有长度的立方的量纲。
要是已知条件是xyz=1那该怎么办呢?我们可以令x=ab,y=bc,z=ca或x=a2bc,y=b2ac,z=c2ab等等。对于证明不等式,“统一量纲”往往是有效的一步,虽然它未必是必须的或者最简单的。
对称“破缺” #
这是本文的核心所在!对称的系统解法相对简单,是因为我们有一个“终极武器”——通过变换让对称的系统变得不对称,往往会化简问题。还记得我们当初是怎样求解二次方程的吗?已知xy=p,x+y=q,这是一个对称的系统,我们让x=a+b,y=a−b,变成不对称的a2−b2=p,2a=q,问题并没有变复杂,反而解答更容易了。不等式中也有类似的方法。
例如,要证明4(a+b+c)(ab+bc+ca)−9abc≤(a+b+c)3,这里的a,b,c的地位是等价的,我们让它变得不等价,不妨设a≥b≥c,为了进一步显示出三者的地位不等,我们可以设
b=c+u,a=b+v=c+u+v
其中u,v均不小于0.
代入到(a+b+c)3−4(a+b+c)(ab+bc+ca)+9abc中去,会得到什么呢?展开后我们会有:
(3c+2u+v)3−4(3c+2u+v)[(c+u+v)(c+u)+(c+u)c+(c+u+v)c]+9(c+u+v)(c+u)c=v3+2uv2+cv2+cuv+cu2
可见,每一项都是非负的,因此不等式成立。这里是不对称多项式展开,过程显得非常麻烦,我已经强调过,这不会是一种漂亮的证明方法。
再举另外一个例子,证明a3+b3+c3−3abc≥0,就是要展开
(c+u+v)3+(c+u)3+c3−3(c+u+v)(c+u)c,得到
3cu2+3cuv+3cv2+2u3+3u2v+3uv2+v3
显然这个式子非负,因此不等式成立。
尾音 #
本文是BoJone研究不等式的结果,当然这也不是什么新鲜的玩意儿,只是在这里稍作记录,希望能够对大家有帮助。本文采取了物理的一些名称来讲述,原因是BoJone本身是一个物理爱好者,同时也觉得物理数学本身是不分家的,用物理来理解数学,有时能够达到漂亮的效果!^_^当然本文只涉及到了不等式证明的冰山一角,而且由于计算量比较大,顶多只能算一个“机器证明”,对于次数比较高的情况,计算量会非常大,不适合使用。
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May 29th, 2018
文中说“现在我们把所有的未知数看成是具有长度量纲的量,而所有的常数看成是零量纲的量”,所以x,y和z也是未知数,但是却变为了零量纲的量(与前面说的矛盾),故可以考虑:4(xy+yz+zx)−9xyz=4(x+y+z)(xy+yz+zx)−9xyz≤13=(x+y+z)3
是的~出发点不同。
February 23rd, 2022
漂亮