24 Nov

exp(x)在x=0处的偶次泰勒展开式总是正的

刚看到一个有意思的结论:

对于任意实数$x$及偶数$n$,总有$\sum\limits_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} > 0$,即$e^x$在$x=0$处的偶次泰勒展开式总是正的。

下面我们来看一下这个结论的证明,以及它在寻找softmax替代品中的应用。

证明过程

看上去这是一个很强的结果,证明会不会很复杂?其实证明非常简单,记
\begin{equation}f_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\end{equation}
当$n$是偶数时,我们有$\lim\limits_{x\to\pm\infty} f_n(x)=+\infty$,即整体是开口向上的,所以我们只需要证明它的最小值大于0就行了,又因为它是一个光滑连续的多项式函数,所以最小值点必然是某个极小值点。那么换个角度想,我们只需要证明它所有的极值点(不管是极大还是极小)所对应的函数值都大于0。

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16 Oct

如何划分一个跟测试集更接近的验证集?

不管是打比赛、做实验还是搞工程,我们经常会遇到训练集与测试集分布不一致的情况。一般来说我们会从训练集中划分出来一个验证集,通过这个验证集来调整一些超参数(参考《训练集、验证集和测试集的意义》),比如控制模型的训练轮数以防止过拟合。然而,如果验证集本身跟测试集差别比较大,那么验证集上很好的模型也不代表在测试集上很好,因此如何让划分出来验证集跟测试集的分布差异更小一些,是一个值得研究的题目。

两种情况

首先,明确一下,本文所考虑的,是能给拿到测试集数据本身、但不知道测试集标签的场景。如果是那种提交模型封闭评测的场景,我们完全看不到测试集的,那就没什么办法了。为什么会出现测试集跟训练集分布不一致的现象呢?主要有两种情况。

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1 Jun

提高模型的泛化性能是机器学习致力追求的目标之一。常见的提高泛化性的方法主要有两种:第一种是添加噪声,比如往输入添加高斯噪声、中间层增加Dropout以及进来比较热门的对抗训练等,对图像进行随机平移缩放等数据扩增手段某种意义上也属于此列;第二种是往loss里边添加正则项,比如$L_1, L_2$惩罚、梯度惩罚等。本文试图探索几种常见的提高泛化性能的手段的关联。

随机噪声

我们记模型为$f(x)$,$\mathcal{D}$为训练数据集合,$l(f(x), y)$为单个样本的loss,那么我们的优化目标是
\begin{equation}\mathop{\arg\min}_{\theta} L(\theta)=\mathbb{E}_{(x,y)\sim \mathcal{D}}[l(f(x), y)]\end{equation}
$\theta$是$f(x)$里边的可训练参数。假如往模型输入添加噪声$\varepsilon$,其分布为$q(\varepsilon)$,那么优化目标就变为
\begin{equation}\mathop{\arg\min}_{\theta} L_{\varepsilon}(\theta)=\mathbb{E}_{(x,y)\sim \mathcal{D}, \varepsilon\sim q(\varepsilon)}[l(f(x + \varepsilon), y)]\end{equation}
当然,可以添加噪声的地方不仅仅是输入,也可以是中间层,也可以是权重$\theta$,甚至可以是输出$y$(等价于标签平滑),噪声也不一定是加上去的,比如Dropout是乘上去的。对于加性噪声来说,$q(\varepsilon)$的常见选择是均值为0、方差固定的高斯分布;而对于乘性噪声来说,常见选择是均匀分布$U([0,1])$或者是伯努利分布。

添加随机噪声的目的很直观,就是希望模型能学会抵御一些随机扰动,从而降低对输入或者参数的敏感性,而降低了这种敏感性,通常意味着所得到的模型不再那么依赖训练集,所以有助于提高模型泛化性能。

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13 Apr

突破瓶颈,打造更强大的Transformer

《Attention is All You Need》一文发布后,基于Multi-Head Attention的Transformer模型开始流行起来,而去年发布的BERT模型更是将Transformer模型的热度推上了又一个高峰。当然,技术的探索是无止境的,改进的工作也相继涌现:有改进预训练任务的,比如XLNET的PLM、ALBERT的SOP等;有改进归一化的,比如Post-Norm向Pre-Norm的改变,以及T5中去掉了Layer Norm里边的beta参数等;也有改进模型结构的,比如Transformer-XL等;有改进训练方式的,比如ALBERT的参数共享等;...

以上的这些改动,都是在Attention外部进行改动的,也就是说它们都默认了Attention的合理性,没有对Attention本身进行改动。而本文我们则介绍关于两个新结果:它们针对Multi-Head Attention中可能存在建模瓶颈,提出了不同的方案来改进Multi-Head Attention。两篇论文都来自Google,并且做了相当充分的实验,因此结果应该是相当有说服力的了。

再小也不能小key_size

第一个结果来自文章《Low-Rank Bottleneck in Multi-head Attention Models》,它明确地指出了Multi-Head Attention里边的表达能力瓶颈,并提出通过增大key_size的方法来缓解这个瓶颈。

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16 Jan

从几何视角来理解模型参数的初始化策略

对于复杂模型来说,参数的初始化显得尤为重要。糟糕的初始化,很多时候已经不单是模型效果变差的问题了,还更有可能是模型根本训练不动或者不收敛。在深度学习中常见的自适应初始化策略是Xavier初始化,它是从正态分布$\mathcal{N}\left(0,\frac{2}{fan_{in} + fan_{out}}\right)$中随机采样而构成的初始权重,其中$fan_{in}$是输入的维度而$fan_{out}$是输出的维度。其他初始化策略基本上也类似,只不过假设有所不同,导致最终形式略有差别。

标准的初始化策略的推导是基于概率统计的,大概的思路是假设输入数据的均值为0、方差为1,然后期望输出数据也保持均值为0、方差为1,然后推导出初始变换应该满足的均值和方差条件。这个过程理论上没啥问题,但在笔者看来依然不够直观,而且推导过程的假设有点多。本文则希望能从几何视角来理解模型的初始化方法,给出一个更直观的推导过程。

信手拈来的正交

前者时间笔者写了《n维空间下两个随机向量的夹角分布》,其中的一个推论是

推论1: 高维空间中的任意两个随机向量几乎都是垂直的。

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13 Nov

n维空间下两个随机向量的夹角分布

昨天群里大家讨论到了$n$维向量的一些反直觉现象,其中一个话题是“一般$n$维空间下两个随机向量几乎都是垂直的”,这就跟二维/三维空间的认知有明显出入了。要从理论上认识这个结论,我们可以考虑两个随机向量的夹角$\theta$分布,并算算它的均值方差。

概率密度

首先,我们来推导$\theta$的概率密度函数。呃,其实也不用怎么推导,它是$n$维超球坐标的一个直接结论。

要求两个随机向量之间的夹角分布,很显然,由于各向同性,所以我们只需要考虑单位向量,而同样是因为各向同性,我们只需要固定其中一个向量,考虑另一个向量随机变化。不是一般性,考虑随机向量为
\begin{equation}\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n)\end{equation}
而固定向量为
\begin{equation}\boldsymbol{y}=(1,0,\dots,0)\end{equation}

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26 Aug

HSIC简介:一个有意思的判断相关性的思路

前几天,在机器之心看到这样的一个推送《彻底解决梯度爆炸问题,新方法不用反向传播也能训练ResNet》,当然,媒体的标题党作风我们暂且无视,主要看内容即可。机器之心的这篇文章,介绍的是论文《The HSIC Bottleneck: Deep Learning without Back-Propagation》的成果,里边提出了一种通过HSIC Bottleneck来训练神经网络的算法。

坦白说,这篇论文笔者还没有看明白,因为对笔者来说里边的新概念有点多了。不过论文中的“HSIC”这个概念引起了笔者的兴趣。经过学习,终于基本地理解了这个HSIC的含义和来龙去脉,于是就有了本文,试图给出HSIC的一个尽可能通俗(但可能不严谨)的理解。

背景

HSIC全称“Hilbert-Schmidt independence criterion”,中文可以叫做“希尔伯特-施密特独立性指标”吧,跟互信息一样,它也可以用来衡量两个变量之间的独立性。

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19 Jun

简述无偏估计和有偏估计

对于大多数读者(包括笔者)来说,他们接触到的第一个有偏估计量,应该是方差
\begin{equation}\hat{\sigma}^2_{\text{有偏}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(x_i - \hat{\mu}\right)^2,\quad \hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\label{eq:youpianfangcha}\end{equation}
然后又了解到对应的无偏估计应该是
\begin{equation}\hat{\sigma}^2_{\text{无偏}} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(x_i - \hat{\mu}\right)^2\label{eq:wupianfangcha}\end{equation}
在很多人的眼里,公式$\eqref{eq:youpianfangcha}$才是合理的,怎么就有偏了?公式$\eqref{eq:wupianfangcha}$将$n$换成反直觉的$n-1$,反而就无偏了?

下面试图用尽量清晰的语言讨论一下无偏估计和有偏估计两个概念。

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