11 Aug

细水长flow之NICE:流模型的基本概念与实现

前言:自从在机器之心上看到了glow模型之后(请看《下一个GAN?OpenAI提出可逆生成模型Glow》),我就一直对其念念不忘。现在机器学习模型层出不穷,我也经常关注一些新模型动态,但很少像glow模型那样让我怦然心动,有种“就是它了”的感觉。更意外的是,这个效果看起来如此好的模型,居然是我以前完全没有听说过的。于是我翻来覆去阅读了好几天,越读越觉得有意思,感觉通过它能将我之前的很多想法都关联起来。在此,先来个阶段总结。

背景

本文主要是《NICE: Non-linear Independent Components Estimation》一文的介绍和实现。这篇文章也是glow这个模型的基础文章之一,可以说它就是glow的奠基石。

艰难的分布

众所周知,目前主流的生成模型包括VAE和GAN,但事实上除了这两个之外,还有基于flow的模型(flow可以直接翻译为“流”,它的概念我们后面再介绍)。事实上flow的历史和VAE、GAN它们一样悠久,但是flow却鲜为人知。在我看来,大概原因是flow找不到像GAN一样的诸如“造假者-鉴别者”的直观解释吧,因为flow整体偏数学化,加上早期效果没有特别好但计算量又特别大,所以很难让人提起兴趣来。不过现在看来,OpenAI的这个好得让人惊叹的、基于flow的glow模型,估计会让更多的人投入到flow模型的改进中。

glow模型生成的高清人脸

glow模型生成的高清人脸

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13 Jun

“噪声对比估计”杂谈:曲径通幽之妙

说到噪声对比估计,或者“负采样”,大家可能立马就想到了Word2Vec。事实上,它的含义远不止于此,噪音对比估计(NCE, Noise Contrastive Estimation)是一个迂回但却异常精美的技巧,它使得我们在没法直接完成归一化因子(也叫配分函数)的计算时,就能够去估算出概率分布的参数。本文就让我们来欣赏一下NCE的曲径通幽般的美妙。

注:由于出发点不同,本文所介绍的“噪声对比估计”实际上更偏向于所谓的“负采样”技巧,但两者本质上是一样的,在此不作区分。

问题起源

问题的根源是难分难舍的指数概率分布~

指数族分布

在很多问题中都会出现指数族分布,即对于某个变量$\boldsymbol{x}$的概率$p(\boldsymbol{x})$,我们将其写成
$$p(\boldsymbol{x}) = \frac{e^{G(\boldsymbol{x})}}{Z}\tag{1}$$
其中$G(\boldsymbol{x})$是$\boldsymbol{x}$的某个“能量”函数,而$Z=\sum_{\boldsymbol{x}} e^{G(\boldsymbol{x})}$则是归一化常数,也叫配分函数。这种分布也称为“玻尔兹曼分布”。

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7 Jun

python简单实现gillespie模拟

由于专业需求,需要做主方程的随机模拟。在网上并没有找到适合的Python实现,遂自己写了一个,分享一下源码。至于gillespie算法本身就不介绍了,有需要的读者自然会懂,没需要的读者不建议去懂。

源码

其实基本的gillespie模拟算法很简单,也很好实现,下面就是一个参考例子:

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28 Mar

变分自编码器(二):从贝叶斯观点出发

源起

前几天写了博文《变分自编码器(一):原来是这么一回事》,从一种比较通俗的观点来理解变分自编码器(VAE),在那篇文章的视角中,VAE跟普通的自编码器差别不大,无非是多加了噪声并对噪声做了约束。然而,当初我想要弄懂VAE的初衷,是想看看究竟贝叶斯学派的概率图模型究竟是如何与深度学习结合来发挥作用的,如果仅仅是得到一个通俗的理解,那显然是不够的。

所以我对VAE继续思考了几天,试图用更一般的、概率化的语言来把VAE说清楚。事实上,这种思考也能回答通俗理解中无法解答的问题,比如重构损失用MSE好还是交叉熵好、重构损失和KL损失应该怎么平衡,等等。

建议在阅读《变分自编码器(一):原来是这么一回事》后对本文进行阅读,本文在内容上尽量不与前文重复。

准备

在进入对VAE的描述之前,我觉得有必要把一些概念性的内容讲一下。

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15 Mar

从最大似然到EM算法:一致的理解方式

最近在思考nLP的无监督学习和概率图相关的一些内容,于是重新把一些参数估计方法理了一遍。在深度学习中,参数估计是最基本的步骤之一了,也就是我们所说的模型训练过程。为了训练模型就得有个损失函数,而如果没有系统学习过概率论的读者,能想到的最自然的损失函数估计是平均平方误差,它也就是对应于我们所说的欧式距离。而理论上来讲,概率模型的最佳搭配应该是“交叉熵”函数,它来源于概率论中的最大似然函数。

最大似然

合理的存在

何为最大似然?哲学上有句话叫做“存在就是合理的”,最大似然的意思是“存在就是最合理的”。具体来说,如果事件$X$的概率分布为$p(X)$,如果一次观测中具体观测到的值分别为$X_1,X_2,\dots,X_n$,并假设它们是相互独立,那么
$$\mathcal{P} = \prod_{i=1}^n p(X_i)\tag{1}$$
是最大的。如果$p(X)$是一个带有参数$\theta$的概率分布式$p_{\theta}(X)$,那么我们应当想办法选择$\theta$,使得$\mathcal{L}$最大化,即
$$\theta = \mathop{\arg\max}_{\theta} \mathcal{P}(\theta) = \mathop{\arg\max}_{\theta}\prod_{i=1}^n p_{\theta}(X_i)\tag{2}$$

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6 Oct

从马尔科夫过程到主方程(推导过程)

主方程(master equation)是对随机过程进行建模的重要方法,它代表着马尔科夫过程的微分形式,我们的专业主要工具之一就是主方程,说宏大一点,量子力学和统计力学等也不外乎是主方程的一个特例。

然而,笔者阅读了几个著作,比如《统计物理现代教程》,还有我导师的《生物系统的随机动力学》,我发现这些著作对于主方程的推导都很模糊,他们在着力解释结果的意义,但并不说明结果的思想来源,因此其过程难以让人信服。而知乎上有人提问《如何理解马尔科夫过程的主方程的推导过程?》但没有得到很好的答案,也表明了这个事实。

马尔可夫过程

主方程是用来描述马尔科夫过程的,而马尔科夫过程可以理解为运动的无记忆性,说通俗点,就是下一刻的概率分布,只跟当前时刻有关,跟历史状态无关。用概率公式写出来就是(这里只考虑连续型概率,因此这里的$p$是概率密度):
$$\begin{equation}\label{eq:maerkefu}p(x,\tau)=\int p(x,\tau|y,t) p(y,t) dy\end{equation}$$
这里的积分区域是全空间。这里的$p(x,\tau|y,t)$称为跃迁概率,即已经确定了$t$时刻来到了$y$位置后、在$\tau$时刻达到$x$的概率密度,这个式子的物理意义是很明显的,就不多做解释了。

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8 Jun

互怼的艺术:从零直达WGAN-GP

前言

GAN,全称Generative Adversarial Nets,中文名是生成对抗式网络。对于GAN来说,最通俗的解释就是“伪造者-鉴别者”的解释,如艺术画的伪造者和鉴别者。一开始伪造者和鉴别者的水平都不高,但是鉴别者还是比较容易鉴别出伪造者伪造出来的艺术画。但随着伪造者对伪造技术的学习后,其伪造的艺术画会让鉴别者识别错误;或者随着鉴别者对鉴别技术的学习后,能够很简单的鉴别出伪造者伪造的艺术画。这是一个双方不断学习技术,以达到最高的伪造和鉴别水平的过程。 然而,稍微深入了解的读者就会发现,跟现实中的造假者不同,造假者会与时俱进地使用新材料新技术来造假,而GAN最神奇而又让人困惑的地方是它能够将随机噪声映射为我们所希望的正样本,有噪声就有正样本,这不是无本生意吗,多划算~

另一个情况是,自从WGAN提出以来,基本上GAN的主流研究都已经变成了WGAN上去了,但WGAN的形式事实上已经跟“伪造者-鉴别者”差得比较远了。而且WGAN虽然最后的形式并不复杂,但是推导过程却用到了诸多复杂的数学,使得我无心研读原始论文。这迫使我要找从一条简明直观的线索来理解GAN。幸好,经过一段时间的思考,有点收获。

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23 Mar

梯度下降和EM算法:系出同源,一脉相承

PS:本文就是梳理了梯度下降与EM算法的关系,通过同一种思路,推导了普通的梯度下降法、pLSA中的EM算法、K-Means中的EM算法,以此表明它们基本都是同一个东西的不同方面,所谓“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”罢了。

在机器学习中,通常都会将我们所要求解的问题表示为一个带有未知参数的损失函数(Loss),如平均平方误差(MSE),然后想办法求解这个函数的最小值,来得到最佳的参数值,从而完成建模。因将函数乘以-1后,最大值也就变成了最小值,因此一律归为最小值来说。如何求函数的最小值,在机器学习领域里,一般会流传两个大的方向:1、梯度下降;2、EM算法,也就是最大期望算法,一般用于复杂的最大似然问题的求解。

在通常的教程中,会将这两个方法描述得迥然不同,就像两大体系在分庭抗礼那样,而EM算法更是被描述得玄乎其玄的感觉。但事实上,这两个方法,都是同一个思路的不同例子而已,所谓“本是同根生”,它们就是一脉相承的东西。

让我们,先从远古的牛顿法谈起。

牛顿迭代法

给定一个复杂的非线性函数$f(x)$,希望求它的最小值,我们一般可以这样做,假定它足够光滑,那么它的最小值也就是它的极小值点,满足$f'(x_0)=0$,然后可以转化为求方程$f'(x)=0$的根了。非线性方程的根我们有个牛顿法,所以
$$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}$$

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