高考成绩出来了，不是很理想，不能进入很理想的高校。不过不管到了哪里，我都会一直延续我的科学梦，醉心于数学物理研究。昨天志愿填报也完成了，所以高考的事情暂时也告一段落了，接着就等通知了。

接下来的几篇文章可能会探讨一些有趣的轨迹问题，是和圆锥曲线有关的，它们基本都是在高考前两周的时间内完成的。先看最简单的一个，抛物线y=x2内有一条定长为a的弦，求弦的中点轨迹，并探讨轨迹的最低点位置。

抛物线里边的定长弦

抛物线里边的定长弦

可以设想一个对应的物理模型，一个旋转抛物线形状的大碗，一个筷子在里边滑下来，求中点的轨迹。那么中点的最低点意味着什么呢？根据重力势能的定义，中点最低意味着势能最小，而之前的“势能最小原理”告诉我们势能最小意味着平衡，原来中点最低其实对应着这根筷子的稳定位置。

先来求轨迹。如图，设A=(x1,y1),B=(x2,y2)，结合y=x2，可以列出关系式

(x1−x2)2+(x21−x22)2=a2

中点的表达式为

x=x1+x22,y=x21+x222

这个表达形式要求我们要尽量把距离关系式往x1+x2和x21+x22靠拢，其过程为

(x1−x2)2[1+(x1+x2)2]=a2[2(x21+x22)−(x1+x2)2][1+(x1+x2)2]=a2

所以轨迹方程就是

4(y−x2)(1+4x2)=a2

或者写成4y=a21+4x2+4x2

现在来探讨轨迹的最低点位置。即求y的最小值，由基本不等式可以得到：

4y=a21+4x2+(1+4x2)−1≥2√a21+4x2⋅(1+4x2)−1=2a−1

即ymin=2a−14，但是有个限制条件，取等号的条件为：a21+4x2=1+4x2，这要求a≥1。

当a≤1时，容易发现x=0的时候取到最小值ymin=a24。

不同的a值对应的图像如下：

a=0.5时的图像

a=0.5时的图像

a=0.5时的图像

a=1时的图像

a=1时的图像

a=1时的图像

a=2时的图像

a=2时的图像

a=2时的图像

之前已经说过，最低点就是那根“筷子”的平衡位置。可是受力分析告诉我们，当AB平行于x轴时（水平位置），筷子也是受力平衡的，应该也属于平衡点呀，为什么所求的不是这个点呢？其实一个系统往往有多个平衡位置，但并非每一个平衡位置都是稳定的。稳定的平衡位置在受到轻微干扰后，只会围绕着平衡点轻微地摆动，而不稳定的平衡点在受到轻微干扰，会远远偏离原来状态。比如，我们轻轻地晃动这个碗，那么这个筷子会怎么摆动呢？在原来的位置稍微摆动，意味着它是稳定的；远离原来的位置，到了另外一个位置，意味着它是不稳定的——尽管它们都是受力平衡点。

对于抛物线是y=kx2的形式的轨迹，可以通过换元变成本文的形式，所以不再赘述。一个很容易想到的问题是：将本文的曲线改成是一个椭圆，那么定长弦的中点轨迹又是怎样的？这将在下一篇文章讲到。

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苏剑林. (Jun. 30, 2012). 《抛物线内一根定长的弦 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/1639

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        title={抛物线内一根定长的弦},
        author={苏剑林},
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