一道整数边三角形题目

这是一道来自“数联天地”的题目：

三边长均为整数的三角形，周长为1000，其中一个内角是另外一个内角的两倍。求三边长度

咋看上去这是一道几何题目，但实际上这是一道初等数论题，而且主要是不定方程问题。类似的题目在数学竞赛中其实有可能出到，在这里和大家探讨一番。话说回来，其实笔者小时候很喜欢数论方面的内容的，在小学和初中，经常围绕着“素数”、“完全数”、“亲和数”、“大数分解”等等名词钻研看书。现在学习了微积分等内容之后，兴趣逐渐转向了实用性较强的数学，因而数论内容的水平不高，大家见笑了。

设三边为a,b,c，对应的角为A,B,C，并且设B=2A。根据已知条件，我们有a+b+c=1000

根据余弦定理，我们有$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

根据正弦定理，我们有$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin 2A}=\frac{b}{2\sin A \cos A}$

把cos A的表达式代入上式，得到：$a=\frac{b}{2(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})}$

即$\frac{c}{a}=1+(\frac{c}{b})^2-(\frac{a}{b})^2$

也许有的读者会困惑为什么要写成这个形式。其实BoJone是想到在研究问题时要尽可能把式子写简短，并且未知数尽可能地少。在上边的式子中，$\frac{c}{a}$可以写成$\frac{c//b}{a//b}$，只要令$\frac{a}{b}=m,\frac{c}{b}=n$就可以将上式变成只含有两个未知数的式子。即
$$\frac{n}{m}=1+n^2-m^2$$

从物理的角度来讲，之所以会产生这种便捷，是因为改写后的$\frac{a}{b},\frac{c}{b}$都是“零量纲”的量。至于怎么能够很快地想到这个步骤，BoJone也无他法，只能说这需要一定的练习和直觉以及不断的尝试。

上式可以继续变成$\frac{n-m}{m}=(n-m)(n+m)$。很容易检验$ n !=m$，那么就有$1=(n+m)m$，换回原来的未知数就是：$a^2+ac=b^2$。此时，最直接的方法就是用计算机编程枚举。当然在数学竞赛中不能这样做，或者有的读者是追求分析的过程，那么就值得把求解计算过程再探讨一番。

经过一系列的尝试后，我想到了以下比较容易计算的思路。在$a^2+ac=b^2$两边加上$(1/2 c)^2$，得到$(a+1/2 c)^2=b^2+(1/2 c)^2$

这变成了一个勾股数问题（当然我们不知道c是奇数还是偶数）。我们记得所有的勾股数都可以表示成$(x^2+y^2)^2=(x^2-y^2)^2+(2xy)^2$，不妨先令$x^2+y^2=a+1/2 c,x^2-y^2=b,2xy=1/2c$
（这里有一个小小的问题需要思考：为什么不是$x^2-y^2=1/2 c,2xy=b$？）

根据$a+b+c=1000$，我们有$x^2+xy=500 \Rightarrow y=\frac{500-x^2}{x}$。

$$\begin{aligned}x > y \Rightarrow x > \sqrt{250}=15.8... \\ y>0 \Rightarrow x < sqrt{500} =22.36...\end{aligned}$$

由于$x^2+xy=500$，因此x,y不可能都是“**.5”的形式，因此c必定为偶数。只需要把x的取值在16～22的整数检验一遍，就可以得出x=20,y=5。由此得到最终结果：
a=225,b=375,c=400

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