细水长flow之NICE：流模型的基本概念与实现

前言：自从在机器之心上看到了glow模型之后（请看《下一个GAN？OpenAI提出可逆生成模型Glow》），我就一直对其念念不忘。现在机器学习模型层出不穷，我也经常关注一些新模型动态，但很少像glow模型那样让我怦然心动，有种“就是它了”的感觉。更意外的是，这个效果看起来如此好的模型，居然是我以前完全没有听说过的。于是我翻来覆去阅读了好几天，越读越觉得有意思，感觉通过它能将我之前的很多想法都关联起来。在此，先来个阶段总结。

背景 #

本文主要是《NICE: Non-linear Independent Components Estimation》一文的介绍和实现。这篇文章也是glow这个模型的基础文章之一，可以说它就是glow的奠基石。

艰难的分布 #

众所周知，目前主流的生成模型包括VAE和GAN，但事实上除了这两个之外，还有基于flow的模型（flow可以直接翻译为“流”，它的概念我们后面再介绍）。事实上flow的历史和VAE、GAN它们一样悠久，但是flow却鲜为人知。在我看来，大概原因是flow找不到像GAN一样的诸如“造假者-鉴别者”的直观解释吧，因为flow整体偏数学化，加上早期效果没有特别好但计算量又特别大，所以很难让人提起兴趣来。不过现在看来，OpenAI的这个好得让人惊叹的、基于flow的glow模型，估计会让更多的人投入到flow模型的改进中。

生成模型的本质，就是希望用一个我们知道的概率模型来拟合所给的数据样本，也就是说，我们得写出一个带参数$\boldsymbol{\theta}$的分布$q_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x})$。然而，我们的神经网络只是“万能函数拟合器”，却不是“万能分布拟合器”，也就是它原则上能拟合任意函数，但不能随意拟合一个概率分布，因为概率分布有“非负”和“归一化”的要求。这样一来，我们能直接写出来的只有离散型的分布，或者是连续型的高斯分布。

当然，从最严格的角度来看，图像应该是一个离散的分布，因为它是由有限个像素组成的，而每个像素的取值也是离散的、有限的，因此可以通过离散分布来描述。这个思路的成果就是PixelRNN一类的模型了，我们称之为“自回归流”，其特点就是无法并行，所以计算量特别大。所以，我们更希望用连续分布来描述图像。当然，图像只是一个场景，其他场景下我们也有很多连续型的数据，所以连续型的分布的研究是很有必要的。

各显神通 #

所以问题就来了，对于连续型的，我们也就只能写出高斯分布了，而且很多时候为了方便处理，我们只能写出各分量独立的高斯分布，这显然只是众多连续分布中极小的一部分，显然是不够用的。为了解决这个困境，我们通过积分来创造更多的分布：
$$q(\boldsymbol{x})=\int q(\boldsymbol{z})q(\boldsymbol{x}|\boldsymbol{z}) d\boldsymbol{z}\tag{1}$$
这里$q(\boldsymbol{z})$一般是标准的高斯分布，而$q_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}|\boldsymbol{z})=q_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}|\boldsymbol{z})$可以选择任意的条件高斯分布或者狄拉克分布。这样的积分形式可以形成很多复杂的分布。理论上来讲，它能拟合任意分布。

现在分布形式有了，我们需要求出参数$\boldsymbol{\theta}$，那一般就是最大似然，假设真实数据分布为$\tilde{p}(\boldsymbol{x})$，那么我们就需要最大化目标
$$\mathbb{E}_{\boldsymbol{x}\sim \tilde{p}(\boldsymbol{x})} \big[\log q(\boldsymbol{x})\big]\tag{2}$$
然而$q_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x})$是积分形式的，能不能算下去很难说。

于是各路大神就“八仙过海，各显神通”了。其中，VAE和GAN在不同方向上避开了这个困难。VAE没有直接优化目标$(2)$，而是优化一个更强的上界，这使得它只能是一个近似模型，无法达到良好的生成效果。GAN则是通过一个交替训练的方法绕开了这个困难，确实保留了模型的精确性，所以它才能有如此好的生成效果。但不管怎么样，GAN也不能说处处让人满意了，所以探索别的解决方法是有意义的。

直面概率积分 #

flow模型选择了一条“硬路”：直接把积分算出来。

具体来说，flow模型选择$q(\boldsymbol{x}|\boldsymbol{z})$为狄拉克分布$\delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{g}(\boldsymbol{z}))$，而且$\boldsymbol{g}(\boldsymbol{z})$必须是可逆的，也就是说
$$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{g}(\boldsymbol{z}) \Leftrightarrow \boldsymbol{z} = \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\tag{3}$$
要从理论上（数学上）实现可逆，那么要求$\boldsymbol{z}$和$\boldsymbol{x}$的维度一样。假设$\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}$的形式都知道了，那么通过$(1)$算$q(\boldsymbol{x})$相当于是对$q(\boldsymbol{z})$做一个积分变换$\boldsymbol{z}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$。即本来是
$$q(\boldsymbol{z}) = \frac{1}{(2\pi)^{D/2}}\exp\left(-\frac{1}{2} \Vert \boldsymbol{z}\Vert^2\right)\tag{4}$$
的标准高斯分布（$D$是$\boldsymbol{z}$的维度），现在要做一个变换$\boldsymbol{z}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$。注意概率密度函数的变量代换并不是简单地将$\boldsymbol{z}$替换为$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$就行了，还多出了一个“雅可比行列式”的绝对值，也就是
$$q(\boldsymbol{x}) = \frac{1}{(2\pi)^{D/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\big\Vert \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\big\Vert^2\right)\left|\det\left[\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}}\right]\right|\tag{5}$$
这样，对$\boldsymbol{f}$我们就有两个要求：

1、可逆，并且易于求逆函数（它的逆$\boldsymbol{g}$就是我们希望的生成模型）；

2、对应的雅可比行列式容易计算。

这样一来
$$\log q(\boldsymbol{x}) = -\frac{D}{2}\log (2\pi) -\frac{1}{2}\big\Vert \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\big\Vert^2 + \log \left|\det\left[\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}}\right]\right|\tag{6}$$
这个优化目标是可以求解的。并且由于$\boldsymbol{f}$容易求逆，因此一旦训练完成，我们就可以随机采样一个$\boldsymbol{z}$，然后通过$\boldsymbol{f}$的逆来生成一个样本$\boldsymbol{f}^{-1}(\boldsymbol{z})=\boldsymbol{g}(\boldsymbol{z})$，这就得到了生成模型。

flow #

前面我们已经介绍了flow模型的特点和难点，下面我们来详细展示flow模型是如何针对难点来解决问题的。因为本文主要是介绍第一篇文章《NICE: Non-linear Independent Components Estimation》的工作，因此本文的模型也专称为NICE。

分块耦合层 #

相对而言，行列式的计算要比函数求逆要困难，所以我们从“要求2”出发思考。熟悉线性代数的朋友会知道，三角阵的行列式最容易计算：三角阵的行列式等于对角线元素之积。所以我们应该要想办法使得变换$\boldsymbol{f}$的雅可比矩阵为三角阵。NICE的做法很精巧，它将$D$维的$\boldsymbol{x}$分为两部分$\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2$，然后取下述变换：
$$\begin{aligned}&\boldsymbol{h}_{1} = \boldsymbol{x}_{1}\\
&\boldsymbol{h}_{2} = \boldsymbol{x}_{2} + \boldsymbol{m}(\boldsymbol{x}_{1})\end{aligned}\tag{7}$$
其中$\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2$是$\boldsymbol{x}$的某种划分，$\boldsymbol{m}$是$\boldsymbol{x}_1$的任意函数。也就是说，将$\boldsymbol{x}$分为两部分，然后按照上述公式进行变换，得到新的变量$\boldsymbol{h}$，这个我们称为“加性耦合层”（Additive Coupling）。不失一般性，可以将$\boldsymbol{x}$各个维度进行重排，使得$\boldsymbol{x}_1 = \boldsymbol{x}_{1:d}$为前$d$个元素，$\boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{x}_{d+1:D}$为$d+1\sim D$个元素。

不难看出，这个变换的雅可比矩阵$\left[\frac{\partial \boldsymbol{h}}{\partial \boldsymbol{x}}\right]$是一个三角阵，而且对角线全部为1，用分块矩阵表示为
$$\left[\frac{\partial \boldsymbol{h}}{\partial \boldsymbol{x}}\right]=\begin{pmatrix}\mathbb{I}_{1:d} & \mathbb{O} \\
\left[\frac{\partial \boldsymbol{m}}{\partial \boldsymbol{x}_1}\right] & \mathbb{I}_{d+1:D}\end{pmatrix}\tag{8}$$
这样一来，这个变换的雅可比行列式为1，其对数为0，这样就解决了行列式的计算问题。

同时，$(7)$式的变换也是可逆的，其逆变换为
$$\begin{aligned}&\boldsymbol{x}_{1} = \boldsymbol{h}_{1}\\
&\boldsymbol{x}_{2} = \boldsymbol{h}_{2} - \boldsymbol{m}(\boldsymbol{h}_{1})\end{aligned}\tag{9}$$

细水长flow #

上面的变换让人十分惊喜：可逆，而且逆变换也很简单，并没有增加额外的计算量。尽管如此，我们可以留意到，变换$(7)$的第一部分是平凡的（恒等变换），因此单个变换不能达到非常强的非线性，所以我们需要多个简单变换的复合，以达到强非线性，增强拟合能力。
$$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{h}^{(0)} \leftrightarrow \boldsymbol{h}^{(1)} \leftrightarrow \boldsymbol{h}^{(2)} \leftrightarrow \dots \leftrightarrow \boldsymbol{h}^{(n-1)} \leftrightarrow \boldsymbol{h}^{(n)} = \boldsymbol{z}\tag{10}$$
其中每个变换都是加性耦合层。这就好比流水一般，积少成多，细水长流，所以这样的一个流程成为一个“流（flow）”。也就是说，一个flow是多个加性耦合层的耦合。

由链式法则
$$\left[\frac{\partial \boldsymbol{z}}{\partial \boldsymbol{x}}\right]=\left[\frac{\partial \boldsymbol{h}^{(n)}}{\partial \boldsymbol{h}^{(0)}}\right]=\left[\frac{\partial \boldsymbol{h}^{(n)}}{\partial \boldsymbol{h}^{(n-1)}}\right]\left[\frac{\partial \boldsymbol{h}^{(n-1)}}{\partial \boldsymbol{h}^{(n-2)}}\right]\dots \left[\frac{\partial \boldsymbol{h}^{(1)}}{\partial \boldsymbol{h}^{(0)}}\right]\tag{11}$$
因为“矩阵的乘积的行列式等于矩阵的行列式的乘积”,而每一层都是加性耦合层，因此每一层的行列式为1，所以结果就是
$$\det \left[\frac{\partial \boldsymbol{z}}{\partial \boldsymbol{x}}\right]=\det\left[\frac{\partial \boldsymbol{h}^{(n)}}{\partial \boldsymbol{h}^{(n-1)}}\right]\det\left[\frac{\partial \boldsymbol{h}^{(n-1)}}{\partial \boldsymbol{h}^{(n-2)}}\right]\dots \det\left[\frac{\partial \boldsymbol{h}^{(1)}}{\partial \boldsymbol{h}^{(0)}}\right]=1$$
（考虑到下面的错位，行列式可能变为-1，但绝对值依然为1），所以我们依然不用考虑行列式。

交错中前进 #

要注意，如果耦合的顺序一直保持不变，即
$$\begin{array}{ll}\begin{aligned}&\boldsymbol{h}^{(1)}_{1} = \boldsymbol{x}_{1}\\
&\boldsymbol{h}^{(1)}_{2} = \boldsymbol{x}_{2} + \boldsymbol{m}_1(\boldsymbol{x}_{1})\end{aligned} & \begin{aligned}&\boldsymbol{h}^{(2)}_{1} = \boldsymbol{h}^{(1)}_{1}\\
&\boldsymbol{h}^{(2)}_{2} = \boldsymbol{h}^{(1)}_{2} + \boldsymbol{m}_2\big(\boldsymbol{h}^{(1)}_{1}\big)\end{aligned} & \\
& \\
\begin{aligned}&\boldsymbol{h}^{(3)}_{1} = \boldsymbol{h}^{(2)}_{1}\\
&\boldsymbol{h}^{(3)}_{2} = \boldsymbol{h}^{(2)}_{2} + \boldsymbol{m}_3\big(\boldsymbol{h}^{(2)}_{1}\big)\end{aligned} & \begin{aligned}&\boldsymbol{h}^{(4)}_{1} = \boldsymbol{h}^{(3)}_{1}\\
&\boldsymbol{h}^{(4)}_{2} = \boldsymbol{h}^{(3)}_{2} + \boldsymbol{m}_4\big(\boldsymbol{h}^{(3)}_{1}\big)\end{aligned} & \quad\dots
\end{array}\tag{12}$$
那么最后还是$\boldsymbol{z}_1 = \boldsymbol{x}_1$，第一部分依然是平凡的，如下图

为了得到不平凡的变换，我们可以考虑在每次进行加性耦合前，打乱或反转输入的各个维度的顺序，或者简单地直接交换这两部分的位置，使得信息可以充分混合，比如
$$\begin{array}{ll}\begin{aligned}&\boldsymbol{h}^{(1)}_{1} = \boldsymbol{x}_{1}\\
&\boldsymbol{h}^{(1)}_{2} = \boldsymbol{x}_{2} + \boldsymbol{m}_1(\boldsymbol{x}_{1})\end{aligned} & \begin{aligned}&\boldsymbol{h}^{(2)}_{1} = \boldsymbol{h}^{(1)}_{1} + \boldsymbol{m}_2\big(\boldsymbol{h}^{(1)}_{2}\big)\\
&\boldsymbol{h}^{(2)}_{2} = \boldsymbol{h}^{(1)}_{2}\end{aligned} & \\
& \\
\begin{aligned}&\boldsymbol{h}^{(3)}_{1} = \boldsymbol{h}^{(2)}_{1}\\
&\boldsymbol{h}^{(3)}_{2} = \boldsymbol{h}^{(2)}_{2} + \boldsymbol{m}_3\big(\boldsymbol{h}^{(2)}_{1}\big)\end{aligned} & \begin{aligned}&\boldsymbol{h}^{(4)}_{1} = \boldsymbol{h}^{(3)}_{1} + \boldsymbol{m}_4\big(\boldsymbol{h}^{(3)}_{2}\big)\\
&\boldsymbol{h}^{(4)}_{2} = \boldsymbol{h}^{(3)}_{2} \end{aligned} & \quad\dots
\end{array}\tag{13}$$
如下图

尺度变换层 #

在文章的前半部分我们已经指出过，flow是基于可逆变换的，所以当模型训练完成之后，我们同时得到了一个生成模型和一个编码模型。但也正是因为可逆变换，随机变量$\boldsymbol{z}$和输入样本$\boldsymbol{x}$具有同一大小。当我们指定$\boldsymbol{z}$为高斯分布时，它是遍布整个$D$维空间的，$D$也就是输入$\boldsymbol{x}$的尺寸。但虽然$\boldsymbol{x}$具有$D$维，但它未必就真正能遍布整个$D$维空间，比如MNIST图像虽然有784个像素，但有些像素不管在训练集还是测试集，都一直保持为0，这说明它远远没有784维那么大。

也就是说，flow这种基于可逆变换的模型，天生就存在比较严重的维度浪费问题：输入数据明明都不是D维流形，但却要编码为一个D维流形，这可行吗？

为了解决这个情况，NICE引入了一个尺度变换层，它对最后编码出来的每个维度的特征都做了个尺度变换，也就是$\boldsymbol{z} = \boldsymbol{s}\otimes \boldsymbol{h}^{(n)}$这样的形式，其中$\boldsymbol{s} = (\boldsymbol{s}_1,\boldsymbol{s}_2,\dots,\boldsymbol{s}_D)$也是一个要优化的参数向量（各个元素非负）。这个$\boldsymbol{s}$向量能识别该维度的重要程度（越小越重要，越大说明这个维度越不重要，接近可以忽略），起到压缩流形的作用。注意这个尺度变换层的雅可比行列式就不再是1了，可以算得它的雅可比矩阵为对角阵
$$\left[\frac{\partial \boldsymbol{z}}{\partial \boldsymbol{h}^{(n)}}\right] = \text{diag}\, (\boldsymbol{s})\tag{14}$$
所以它的行列式为$\prod_i \boldsymbol{s}_i$。于是根据$(6)$式，我们有对数似然
$$\log q(\boldsymbol{x}) \sim -\frac{1}{2}\big\Vert \boldsymbol{s}\otimes \boldsymbol{f} (\boldsymbol{x})\big\Vert^2 + \sum_i \log \boldsymbol{s}_i\tag{15}$$

为什么这个尺度变换能识别特征的重要程度呢？其实这个尺度变换层可以换一种更加清晰的方式描述：我们开始设$\boldsymbol{z}$的先验分布为标准正态分布，也就是各个方差都为1。事实上，我们可以将先验分布的方差也作为训练参数，这样训练完成后方差有大有小，方差越小，说明该特征的“弥散”越小，如果方差为0，那么该特征就恒为均值0，该维度的分布坍缩为一个点，于是这意味着流形减少了一维。

不同于$(4)$式，我们写出带方差的正态分布：
$$q(\boldsymbol{z}) = \frac{1}{(2\pi)^{D/2}\prod\limits_{i=1}^D \boldsymbol{\sigma}_i}\exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^D \frac{\boldsymbol{z}_i^2}{\boldsymbol{\sigma}_i^2}\right)\tag{16}$$
将流模型$\boldsymbol{z}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$代入上式，然后取对数，类似$(6)$式，我们得到
$$\log q(\boldsymbol{x}) \sim -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^D \frac{\boldsymbol{f}_i^2(\boldsymbol{x})}{\boldsymbol{\sigma}_i^2} - \sum_{i=1}^D \log \boldsymbol{\sigma}_i\tag{17}$$
对比$(15)$式，其实就有$\boldsymbol{s}_i=1/\boldsymbol{\sigma}_i$。所以尺度变换层等价于将先验分布的方差（标准差）也作为训练参数，如果方差足够小，我们就可以认为该维度所表示的流形坍缩为一个点，从而总体流形的维度减1，暗含了降维的可能。

特征解耦 #

当我们将先验分布选为各分量独立的高斯分布时，除了采样上的方便，还能带来什么好处呢？

在flow模型中，$\boldsymbol{f}^{-1}$是生成模型，可以用来随机生成样本，那么$\boldsymbol{f}$就是编码器。但是不同于普通神经网络中的自编码器“强迫低维重建高维来提取有效信息”的做法，flow模型是完全可逆的，那么就不存在信息损失的问题，那么这个编码器还有什么价值呢？

这就涉及到了“什么是好的特征”的问题了。在现实生活中，我们经常抽象出一些维度来描述事物，比如“高矮”、“肥瘦”、“美丑”、“贫富”等，这些维度的特点是：“当我们说一个人高时，他不是必然会肥或会瘦，也不是必然会有钱或没钱”，也就是说这些特征之间没有多少必然联系，不然这些特征就有冗余了。所以，一个好的特征，理想情况下各个维度之间应该是相互独立的，这样实现了特征的解耦，使得每个维度都有自己独立的含义。

这样，我们就能理解“先验分布为各分量独立的高斯分布”的好处了，由于各分量的独立性，我们有理由说当我们用$\boldsymbol{f}$对原始特征进行编码时，输出的编码特征$\boldsymbol{z}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$的各个维度是解耦的。NICE的全称Non-linear Independent Components Estimation，翻译为“非线性独立成分估计”，就是这个含义。反过来，由于$\boldsymbol{z}$的每个维度的独立性，理论上我们控制改变单个维度时，就可以看出生成图像是如何随着该维度的改变而改变，从而发现该维度的含义。

类似地，我们也可以对两幅图像的编码进行插值（加权平均），得到过渡自然的生成样本，这些在后面发展起来的glow模型中体现得很充分。不过，我们后面只做了MNIST实验，所以本文中就没有特别体现这一点。

实验 #

这里我们用Keras重现NICE一文中的MNIST的实验。

模型细节 #

先来把NICE模型的各个部分汇总一下。NICE模型是flow模型的一种，由多个加性耦合层组成，每个加性耦合层如$(7)$，它的逆是$(9)$。在耦合之前，需要反转输入的维度，使得信息充分混合。最后一层需要加个尺度变换层，最后的loss是$(15)$式的相反数。

加性耦合层需要将输入分为两部分，NICE采用交错分区，即下标为偶数的作为第一部分，下标为奇数的作为第二部分，而每个$\boldsymbol{m}(\boldsymbol{x})$则简单地用多层全连接（5个隐藏层，每个层1000节点，relu激活）。在NICE中一共耦合了4个加性耦合层。

对于输入，我们将原来是0～255的图像像素压缩为0～1之间（直接除以255），然后给输入加上噪声$[-0.01, 0]$的均匀分布噪声。噪声的加入能够有效地防止过拟合，提高生成的图片质量。它也可以看成是缓解维度浪费问题的一个措施，因为实际上MNIST的图像没有办法充满784维，但如果算上噪声，维度就增加了。

读者或许会好奇，为什么是噪声区间是$[-0.01, 0]$，而不是$[0, 0.01]$或$[-0.005, 0.005]$？事实上从loss看来各种噪声都差不多（包括将均匀分布换成高斯分布）。但是加入噪声后，理论上生成的图片也会带有噪声，这不是我们希望的，而加入负噪声，会让最终生成的图片的像素值稍微偏向负区间，这样我只要用clip操作就可以去掉一部分噪声，这是针对MNIST的一个（不是特别重要的）小技巧罢了。

参考代码 #

这里是我用Keras实现的参考代码：
https://github.com/bojone/flow/blob/master/nice.py
在我的实验中，20个epoch内可以跑到最优，11s一个epoch（GTX1070环境），最终的loss约为-2200。

相比于原论文的实现，这里做了一些改动。对于加性耦合层，我用了$(9)$式作为前向，$(7)$式作为其逆向。因为$\boldsymbol{m}(\boldsymbol{x})$用relu激活，我们知道relu是非负的，因此两种选择是有点差别的。因为正向是编码器，而逆向是生成器，选用$(7)$式作为逆向，那么生成模型更倾向于生成正数，这跟我们要生成的图像是吻合的，因为我们需要生成的是像素值为0～1的图像。

退火参数 #

虽然我们最终希望从标准正态分布中采样随机数来生成样本，但实际上对于训练好的模型，理想的采样方差并不一定是1，而是在1上下波动，一般比1稍小。最终采样的正态分布的标准差，我们称之为退火参数。比如上面的参考实现中，我们的退火参数选为0.75，目测在这时候生成模型的质量最优。

总结 #

NICE的模型还是比较庞大的，按照上述模型，模型的参数量约为$4 \times 5 \times 1000^2 = 2\times 10^7$，也就是两千万的参数只为训练一个MNIST生成模型，也是夸张～

NICE整体还是比较简单粗暴的，首先加性耦合本身比较简单，其次模型$\boldsymbol{m}$部分只是简单地用到了庞大的全连接层，还没有结合卷积等玩法，因此探索空间还有很大，Real NVP和glow就是它们的两个改进版本，它们的故事我们后面再谈。

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