8 Jul

一道比较函数大小的题目

By 苏剑林 | 2011-07-08 | 22752位读者 |

前几天刚结束的云浮高二期末考数学试卷中，有一道题目让我比较深刻。因为在当时我无法去证明它，只是用了举例子的方法得出了答案。刚才思考了一下，在此给出证明过程。题目如下：

定义在(0,+∞)的函数f(x)满足 $x f'(x) \leq f(x)$ ，对于任意的0 < a < b，比较 $a f(b)$ 和 $b f(a)$ 的大小。

这是填空题，因此我举了两个例子就得出了结果：令f(x)=x，则 $a f(b)=b f(a)$ ；令f(x)=x+1，则 $a f(b) < b f(a)$ ，于是答案就是 $a f(b) \leq b f(a)$ 。

当然，读者们想知道的不是答案，而是怎么想到这两个例子。BoJone在考试的时候一时没有头绪，就想着把已知条件 $x f'(x) \leq f(x)$ 换成等于号，解微分方程 $x f'(x) = f(x)$ 得到f(x)=kx，k是任意常数。用这个例子代入 $a f(b)$ 和 $b f(a)$ 得到恒等，稍稍修改这个例子（加上常数项），就得到不等的例子。于是问题就解决了。

不过真正好的数学是需要严格的证明的，这是傍晚时候想出来的：

要比较 $a f(b)$ 和 $b f(a)$ 的大小，
只需要比较比较 $\frac{a f(b)}{ab}$ 和 $\frac{b f(a)}{ab}$ 的大小，
即比较 $\frac{f(b)}{b}$ 和 $\frac{ f(a)}{a}$ 的大小，
即证明函数 $\frac{f(x)}{x}$ 的单调性。

而 $(\frac{f(x)}{x})'=\frac{x f'(x)-f(x)}{x^2}$

题目已经给出 $x f'(x) \leq f(x)$ ，于是 $(\frac{f(x)}{x})'=\frac{x f'(x)-f(x)}{x^2} \leq 0$ 。即这是一个递减函数或者是常函数。又因为已知0 < a < b，所以 $\frac{f(b)}{b} \leq \frac{ f(a)}{a}$ ，也就是 $a f(b) \leq b f(a)$ 。

其实BoJone认为这道题目不应该出在填空题，应该出在解答题中，要求写出求解过程。这样的题目才算得上是“锻炼思维的体操”。

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