生成扩散模型漫谈（二十七）：将步长作为条件输入

这篇文章我们再次聚焦于扩散模型的采样加速。众所周知，扩散模型的采样加速主要有两种思路，一是开发更高效的求解器，二是事后蒸馏。然而，据笔者观察，除了上两篇文章介绍过的SiD外，这两种方案都鲜有能将生成步数降低到一步的结果。虽然SiD能做到单步生成，但它需要额外的蒸馏成本，并且蒸馏过程中用到了类似GAN的交替训练过程，总让人感觉差点意思。

本文要介绍的是《One Step Diffusion via Shortcut Models》，其突破性思想是将生成步长也作为扩散模型的条件输入，然后往训练目标中加入了一个直观的正则项，这样就能直接稳定训练出可以单步生成模型，可谓简单有效的经典之作。

ODE扩散 #

原论文的结论是基于ODE式扩散模型的，而对于ODE式扩散的理论基础，我们在本系列的（六）、（十二）、（十四）、（十五）、（十七）等博客中已经多次介绍，其中最简单的一种理解方式大概是（十七）中的ReFlow视角，下面我们简单重复一下。

假设$\boldsymbol{x}_0\sim p_0(\boldsymbol{x}_0)$是先验分布采样的随机噪声，$\boldsymbol{x}_1\sim p_1(\boldsymbol{x}_1)$是目标分布采样的真实样本，ReFlow允许我们指定任意从$\boldsymbol{x}_0$到$\boldsymbol{x}_1$的运动轨迹，最简单的轨迹自然是直线：
\begin{equation}\boldsymbol{x}_t = (1-t)\boldsymbol{x}_0 + t \boldsymbol{x}_1\label{eq:line}\end{equation}
两边求导，就可以得到它满足的ODE（常微分方程）：
\begin{equation}\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt} = \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_0\end{equation}
这个ODE很简单，但实际上没用，因为我们想要的是通过ODE由$\boldsymbol{x}_0$生成$\boldsymbol{x}_1$，而上述ODE却显式地依赖$\boldsymbol{x}_1$。为了解决这个问题，一个很简单的想法是“学一个$\boldsymbol{x}_t$的函数去逼近$\boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_0$”，学完之后就用它来取代$\boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_0$，即
\begin{equation}\boldsymbol{\theta}^* = \mathop{\text{argmin}}_{\boldsymbol{\theta}} \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p_0(\boldsymbol{x}_0),\boldsymbol{x}_1\sim p_1(\boldsymbol{x}_1)}\left[\Vert\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t) - (\boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_0)\Vert^2\right]\label{eq:loss}\end{equation}
以及
\begin{equation}\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt} = \boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_0\quad\Rightarrow\quad\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt} = \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}^*}(\boldsymbol{x}_t, t)\label{eq:ode-core}\end{equation}
这就是ReFlow。当然这里边还欠缺了一个理论证明，就是通过平方误差来拟合$\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$所得到的ODE确实能生成我们期望的分布，这部分大家自行看《生成扩散模型漫谈（十七）：构建ODE的一般步骤（下）》就好。

步长自洽 #

假设我们已经有了$\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$，那么通过求解微分方程$\frac{d\boldsymbol{x}_t}{dt} = \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$就可以实现从$\boldsymbol{x}_0$到$\boldsymbol{x}_1$的变换。划重点，是“微分方程”，但实际上我们没法真的去数值计算微分方程，而是只能算“差分方程”：
\begin{equation}\boldsymbol{x}_{t + \epsilon} - \boldsymbol{x}_t = \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t) \epsilon\label{eq:de}\end{equation}
这个差分方程是原始ODE的“欧拉近似”，近似程度取决于步长$\epsilon$的大小，当$\epsilon\to 0$时就精确等于原始ODE，换言之步长越小越精确。然而，生成步数等于$1/\epsilon$，我们希望生成步数越少越好，这意味着不能用太大的步长，最好$\epsilon$可以等于1，这样$\boldsymbol{x}_1 = \boldsymbol{x}_0 + \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_0, 0)$，一步就可以完成生成。

问题是，如果直接用大步长代入上式，最终所算得的$\boldsymbol{x}_1$必然会严重偏离精确解。这时候原论文（下称“Shortcut模型”）的巧妙构思就登场了：它认为模型$\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$不应该只是$\boldsymbol{x}_t$和$t$的函数，还应该是步长$\epsilon$的函数，这样差分方程$\eqref{eq:de}$就可以自行适应步长：
\begin{equation}\boldsymbol{x}_{t + \epsilon} - \boldsymbol{x}_t = \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t, \epsilon) \epsilon\end{equation}
目标$\eqref{eq:loss}$训练的是精确的ODE模型，所以它训练的是$\epsilon=0$的模型：
\begin{equation}\mathcal{L}_1 = \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p_0(\boldsymbol{x}_0),\boldsymbol{x}_1\sim p_1(\boldsymbol{x}_1)}\left[\frac{1}{2}\Vert\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t, 0) - (\boldsymbol{x}_1 - \boldsymbol{x}_0)\Vert^2\right]\end{equation}
那$\epsilon > 0$的部分又怎么训练呢？我们的目标是生成步数越少越好，这等价于说希望“两倍的步长走1步等于单倍的步长走2步”：
\begin{equation}\boldsymbol{x}_t + \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t, 2\epsilon) 2\epsilon = \color{green}{\underbrace{\boldsymbol{x}_t + \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t, \epsilon) \epsilon}_{\tilde{\boldsymbol{x}}_{t+\epsilon}}} + \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}\big(\color{green}{\underbrace{\boldsymbol{x}_t + \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t, \epsilon) \epsilon}_{\tilde{\boldsymbol{x}}_{t+\epsilon}}}, t+\epsilon, \epsilon\big) \epsilon\label{eq:cond}\end{equation}
即$\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t, 2\epsilon) = [\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t, \epsilon) + \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\color{green}{\tilde{\boldsymbol{x}}_{t+\epsilon}}, t+\epsilon, \epsilon)] /2$。为了达到这个目标，我们补充一项自洽性损失函数
\begin{equation}\mathcal{L}_2 = \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p_0(\boldsymbol{x}_0),\boldsymbol{x}_1\sim p_1(\boldsymbol{x}_1)}\left[\Vert\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t, 2\epsilon) - [\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t, \epsilon)+ \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\color{green}{\tilde{\boldsymbol{x}}_{t+\epsilon}}, t+\epsilon, \epsilon) ]/2\Vert^2\right]\end{equation}
$\mathcal{L}_1$与$\mathcal{L}_2$相加，就构成了Shortcut模型的损失函数。

（注：有读者指出，更早的《Consistency Trajectory Models: Learning Probability Flow ODE Trajectory of Diffusion》提出过以离散化时间的起点和终点作为条件输入的做法，指定起点和终点后步长其实也就确定了，所以Shortcut以步长为输入的做法并不算完全创新。）

模型细节 #

以上基本就是Shortcut模型的全部理论内容，非常精巧且简明，但从理论到实验，还需要一些细节，比如步长$\epsilon$如何融入到模型中去。

首先，在训练$\mathcal{L}_2$时，Shortcut并没有均匀地从$[0,1]$采样$\epsilon$，而是设置了一个最小步长$2^{-7}$，然后将它们倍增至1，即所有的非零步长只有$\{2^{-7},2^{-6},2^{-5},2^{-4},2^{-3},2^{-2},2^{-1},1\}$这8个值，从前7个中均匀采样来训练$\mathcal{L}_2$。这样一来，$\epsilon$的取值就是有限的，算上$0$一共就只有9个，所以Shortcut模型直接以Embedding的方式来输入$\epsilon$，将它跟$t$的Embedding加在一起。

其次，注意到$\mathcal{L}_2$的计算量是比$\mathcal{L}_1$大的，因为$\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\tilde{\boldsymbol{x}}_{t+\epsilon}, t, \epsilon)$这一项需要两次前向传播，所以论文的做法是每个batch中$3/4$的样本都用来计算$\mathcal{L}_1$，剩下的$1/4$样本才用来算$\mathcal{L}_2$。该操作不仅是为了节省计算量，实际上还调节了$\mathcal{L}_1,\mathcal{L}_2$的权重，因为$\mathcal{L}_2$比$\mathcal{L}_1$更好训练，所以它的训练样本可以适当少些。

除此之外，论文在实践的时候还对$\mathcal{L}_2$做了微调，多加了个stop gradient算子：
\begin{equation}\mathcal{L}_2 = \mathbb{E}_{\boldsymbol{x}_0\sim p_0(\boldsymbol{x}_0),\boldsymbol{x}_1\sim p_1(\boldsymbol{x}_1)}\left[\Vert\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t, 2\epsilon) - \color{skyblue}{\text{sg}[}\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t, \epsilon)+ \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\color{green}{\tilde{\boldsymbol{x}}_{t+\epsilon}}, t+\epsilon, \epsilon) \color{skyblue}{]}/2\Vert^2\right]\end{equation}
为什么要这样做呢？按照作者的回复，这是自引导学习的常见做法，被stop gradient的部分属于目标，不应该有梯度，跟BYOL、SimSiam等无监督学习方案类似。不过照笔者看来，这个操作最大的价值还是节省训练成本，因为$\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\tilde{\boldsymbol{x}}_{t+\epsilon}, t, \epsilon)$这一项做了两次前向传播，如果要对它反向传播，计算量也要翻倍。

实验效果 #

现在我们来看Shortcut模型的实验效果，看起来它是目前单步生成效果最好的、单阶段训练的扩散模型：

这是它的实际采样效果图：

不过仔细观察单步生成的样本就会发现，其实还有明显的瑕疵，所以说虽然Shortcut模型相比于之前的单阶段训练方案来说已经取得了较大的进步，但还有明显的提升空间。

作者已经将Shortcut模型的代码开源，Github链接是：

https://github.com/kvfrans/shortcut-models

顺便说，Shortcut模型投到了ICLR 2025上，获得了reviewer的一致好评（全8分）。

延伸思考 #

看到Shortcut模型，不知道大家想到了哪些相关工作？笔者想到了一个可能大家都意想不到的，那就是我们在《生成扩散模型漫谈（二十一）：中值定理加速ODE采样》介绍过的AMED。

Shortcut模型与AMED的底层思想是相通的，它们都已经发现，单靠研究复杂的高阶求解器，将生成的NFE（模型的运行次数）降低到个位数就已经很简单了，更不用说做单步生成了。所以它们一致认为，真正要变的并不是求解器，而是模型。该怎么变呢？AMED想到的是“中值定理”：对ODE两端积分，我们有精确的
\begin{equation}\boldsymbol{x}_{t + \epsilon} - \boldsymbol{x}_t = \int_t^{t + \epsilon}\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_{\tau}, \tau) d\tau\end{equation}
类比“积分中值定理”，我们能找到一个$s\in[t, t + \epsilon]$，成立
\begin{equation}\frac{1}{\epsilon}\int_t^{t + \epsilon}\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_{\tau}, \tau) d\tau = \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_s, s)\end{equation}
于是我们得到
\begin{equation}\boldsymbol{x}_{t + \epsilon} - \boldsymbol{x}_t = \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_s, s) \epsilon\end{equation}
当然，积分中值定理实际上只对标量函数成立，对向量函数是不保证成立的，所以说是“类比”。现在的问题是并不知道$s$的值，所以AMED的后续做法是用一个非常小的（计算量几乎可以忽略的）模型去预测$s$。

AMED是基于现成扩散模型的事后修正方法，因此它的效果取决于中值定理对$\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_t, t)$模型的成立程度，这显得有些“运气成分”，并且AMED需要先用欧拉格式预估一下$\boldsymbol{x}_s$，所以它的NFE最少是2，不能做到单步生成。相比之下，Shortcut模型更“激进”，它直接把步长作为条件输入，将加速生成的条件$\eqref{eq:cond}$作为损失函数，这样一来不仅避免了“中值定理”近似的可行性讨论，还使得最少NFE可以降低到1。

更巧妙的是，细思之下我们会发现两者的做法其实也有些共性，前面我们说了Shortcut是直接将$\epsilon$转成Embedding加到$t$的Embeddding上的，这不相当于跟AMED一样都是修改$t$嘛！只不过AMED是直接修改$t$的数值，而Shortcut修改的是$t$的Embedding。

文章小结 #

本文介绍了一个单阶段训练就可以实现单步生成的扩散模型新工作，它的突破思想是将步长也当成条件输入到扩散模型中，并配以一个直观的正则项，这样只通过单阶段训练就可以得到单步生成的扩散模型。

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