VQ的旋转技巧：梯度直通估计的一般推广

随着多模态LLM的方兴未艾，VQ（Vector Quantization）的地位也“水涨船高”，它可以作为视觉乃至任意模态的Tokenizer，将多模态数据统一到自回归生成框架中。遗憾的是，自VQ-VAE首次提出VQ以来，其理论并没有显著进步，像编码表的坍缩或利用率低等问题至今仍亟待解决，取而代之的是FSQ等替代方案被提出，成为了VQ有力的“竞争对手”。

然而，FSQ并不能在任何场景下都替代VQ，所以VQ本身的改进依然是有价值的。近日笔者读到了《Restructuring Vector Quantization with the Rotation Trick》，它提出了一种旋转技巧，声称能改善VQ的一系列问题，本文就让我们一起来品鉴一下。

回顾 #

早在五年前的博文《VQ-VAE的简明介绍：量子化自编码器》中我们就介绍过了VQ-VAE，后来在《简单得令人尴尬的FSQ：“四舍五入”超越了VQ-VAE》介绍FSQ的时候，也再次仔细地温习了VQ-VAE，还不了解的读者可以先阅读这两篇文章。

VQ-VAE虽然被冠以VAE之名，但它实际上只是一个AE，并没有VAE的生成能力。它跟普通AE的区别是，它的编码结果是一个离散序列而非连续型向量，即它可以将连续型或离散型的数据编码为一个离散序列，并且允许解码器通过这个离散离散来重构原始输入，这就如同文本的Tokenizer——将输入转换为另一个离散序列，然后允许通过这个离散序列来恢复原始文本——所以它被视作任意模态的Tokenizer。

用公式来说，普通的AE是：
\begin{equation}z = encoder(x),\quad \hat{x}=decoder(z),\quad \mathcal{L}=\Vert x - \hat{x}\Vert^2 \end{equation}
而VQ-VAE则是
\begin{equation}\begin{aligned}
z =&\, encoder(x)\\[5pt]
z_q =&\, z + \text{sg}[q - z],\quad q = \mathop{\text{argmin}}_{e\in\{e_1,e_2,\cdots,e_K\}} \Vert z - e\Vert\\
\hat{x} =&\, decoder(z_q)\\[5pt]
\mathcal{L} =&\, \Vert x - \hat{x}\Vert^2 + \beta\Vert q - \text{sg}[z]\Vert^2 + \gamma\Vert z - \text{sg}[q]\Vert^2
\end{aligned}\end{equation}
其中“VQ”主要就是指从$z$变换到$q$的过程，它将$z$映射成$e_1,e_2,\cdots,e_K$之一，这些$e_i$就称为编码表（Codebook），也是可学习的向量。而训练VQ-VAE的“神之一手”，就是$z_q = z + \text{sg}[q - z]$这一步，它称为梯度的“直通估计器（Straight-Through Estimator，STE）”。

STE #

直通估计的出现，是因为从$z$到$q$的变换包含了不可导的$\text{argmin}$运算，所以没法直接将梯度传播到编码器中，换句话说编码器是没法训练的。为此，VQ-VAE想了一个技巧，它利用stop_gradient算子和$q$与$z$的最邻近特性，在反向传播时用$z$替换$q$，也就是$z_q = z + \text{sg}[q - z]$。

此时，前向计算等价于$\text{sg}$不存在，所以$z_q = z + q - z = q$，即送入Deocder的是$q$，而求梯度时$\text{sg}$的梯度等于0，所以$\nabla z_q = \nabla z$，所以梯度可以绕过不可导算子直达编码器，这就是“直通估计器”。不过这样一来，编码器是能优化了，但编码表却不能优化了，所以VQ-VAE往损失函数中加入了$\beta\Vert q - \text{sg}[z]\Vert^2$来优化编码表，其意图类似K-Means，希望$q$等于所有与它最邻近的$z$的中心。最后的$\gamma\Vert z - \text{sg}[q]\Vert^2$，则希望编码器也主动配合来促进这种聚类特性。

从梯度的链式法则角度看，我们有
\begin{equation}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = \frac{\partial q}{\partial z}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}\end{equation}
注意这里$z,q$都是向量，所以$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z},\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}$也都是向量，而$\frac{\partial q}{\partial z}$则是一个矩阵。由于$z$到$q$的不可导性，所以问题卡在$\frac{\partial q}{\partial z}$没有良好定义，而STE则相当于假设了$\frac{\partial q}{\partial z}=I$（单位矩阵），所以$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}$。这个设置自然有一定的合理性，但有没有什么改进空间呢？

直观上来看，STE导致的结果是，对于属于同一个$q$的所有$z$，它们的梯度都是相同的$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}$，而跟$z,q$的距离远近无关，这似乎就是一个可改进的地方：我们是否可以定义更一般的$\frac{\partial q}{\partial z}$，使得它跟$z,q$的差异大小有关呢？为了达到这个目的，我们先将STE推广成
\begin{equation}z_q = \text{sg}[G]z + \text{sg}[q - Gz]\end{equation}
其中$G$是一个矩阵。再次根据前向传播$\text{sg}$不存在、反向传播$\text{sg}$梯度为零的原则，可以得出$z_q = q$、$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z_q} = G\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}$，这就相当于定义了$\frac{\partial q}{\partial z}=G$。

旋转 #

那怎么选择$G$呢？文章开头所提的论文提出了一个参考方案，基于从$z$到$q$的旋转变换来构建$G$，即论文标题中的“Rotation Trick”。

具体来说，原论文考虑了$Gz = q$的简单情形，此时$\text{sg}[q - Gz]$自动为零，从而简化成$z_q = \text{sg}[G]z$。为了找到矩阵$G$，我们先将$z,q$都归一化为单位向量$\tilde{z} = \frac{z}{\Vert z\Vert},\tilde{q} = \frac{q}{\Vert q\Vert}$，那么就可以构建一个从$\tilde{z}$到$\tilde{q}$的旋转变换。具体的构造方式我们在《从一个单位向量变换到另一个单位向量的正交矩阵》已经探讨过，答案是
\begin{equation}R = I + 2\tilde{q}\tilde{z}^{\top}-
\frac{(\tilde{q} + \tilde{z})(\tilde{q} + \tilde{z})^{\top}}{1 + \cos\theta} = I + 2\tilde{q}\tilde{z}^{\top}-
2\left(\frac{\tilde{q} + \tilde{z}}{\Vert\tilde{q} + \tilde{z}\Vert}\right)\left(\frac{\tilde{q} + \tilde{z}}{\Vert\tilde{q} + \tilde{z}\Vert}\right)^{\top}
\end{equation}
其中$\theta$是$q,z$的夹角。利用这个结果，我们可以写出
\begin{equation}\tilde{q}=R\tilde{z}\quad\Rightarrow\quad q = \frac{\Vert q\Vert}{\Vert z\Vert} R z\quad\Rightarrow\quad G = \frac{\Vert q\Vert}{\Vert z\Vert} R\end{equation}
为了提高计算$Gz$的效率，我们通常选择利用矩阵乘法的结合律先计算$\tilde{z}^{\top}z$和$\left(\frac{\tilde{q} + \tilde{z}}{\Vert\tilde{q} + \tilde{z}\Vert}\right)^{\top}z$，但要注意我们实际上需要的是$\text{sg}[G]z$，所以要注意先停掉$\tilde{q},\tilde{z},\frac{\Vert q\Vert}{\Vert z\Vert}$的梯度再去计算$Gz$。

从几何意义上来看，$\frac{\partial q}{\partial z}=G=\frac{\Vert q\Vert}{\Vert z\Vert} R$，使得$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}$相对于$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}$的几何性质，跟$q$相对于$z$的几何性质是完全一致的，比如$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}$与$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}$的夹角等于$q$与$z$的夹角，它们的模长之比也相等，这些性质自然是有理论上的优雅性，但它是否真的能改善VQ-VAE的性能呢？接下来让我们转到实验部分。

实验 #

论文在相同的配置下对比了旧版STE和旋转技巧，发现旋转技巧的表现可谓“惊艳”：

简单来说，就是该高的地方（编码表利用率、IS）高、该低的地方（重构误差、Loss、FID）低，完全符合理想模型的特性了。论文的代码也已经开源，有兴趣的读者可以自行试跑一下。

Github：https://github.com/cfifty/rotation_trick

思考 #

那这是不是意味着所有的VQ-VAE/VQ-GAN，都可以无脑上旋转技巧了呢？笔者在以前自己写的能跑通的VQ-VAE代码加上了旋转技巧，发现效果反而变得更差了，具体表现是重构损失$\Vert x - \hat{x}\Vert^2$变得更高，编码表损失$\Vert q - z\Vert^2$则更低了。

经过简单分析，笔者发现问题出在$\frac{\partial q}{\partial z}=G=\frac{\Vert q\Vert}{\Vert z\Vert} R$这个选择上，原本的STE则是$\frac{\partial q}{\partial z}=I$，这里旋转矩阵$R$跟单位矩阵$I$的尺度是相当的，所以旋转技巧尺度上多出了$\frac{\Vert q\Vert}{\Vert z\Vert}$。如果初始化时$\Vert q\Vert \ll \Vert z\Vert$（笔者写的VQ-VAE正好是这样），那么旋转技巧加持下重构损失的梯度就会比STE加持下重构损失的梯度小很多，于是对于编码器来说$\gamma\Vert z - \text{sg}[q]\Vert^2$这一项的梯度占了主导。

换句话说，初始阶段相当于只在优化$\beta\Vert q - \text{sg}[z]\Vert^2 + \gamma\Vert z - \text{sg}[q]\Vert^2$，这会导致$q,z\to 0$，即编码表坍缩，这就能解释编码表损失降低、重构损失增加的现象了。所以，从STE切换到旋转技巧大概率至少需要重新调一下$\gamma$。笔者简单看了一下论文的开源代码，里边应该是利用初始Encoder的K-Means来初始化编码表的，这样一来$\Vert q\Vert$与$\Vert z\Vert$的数量级不至于差太远，从而可以比较顺畅地切换。

不过，即便精调了$\gamma$，笔者也没在自己的VQ-VAE代码上调出更优的效果，所以笔者对旋转技巧的有效性保持观望态度。抛开实践不说，理论方面笔者也理解不了旋转技巧的有效性。原文的分析是，当$q$与$z$很相近时，$G$就很接近$I$，此时$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} \approx \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}$是合理的，而当$q$与$z$距离较远，比如$z$位于类别$q$的边界附近时，$G$与$I$的差距较大，即$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z}$明显偏离$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q}$，于是$z$处于“乱飞”的状态，有助于$z$冲破“牢笼”而迈向新的类别，从而提高编码表的利用率。但很显然，这个解释让人觉得很“没底”。

此外，旋转技巧还有一个问题，就是它确立了一个具有超然地位的中心位置——原点。不难理解，VQ操作本身类似于K-Means聚类，而K-Means是无中心的，它具有平移不变性，而旋转则需要一个中心（原点），所以旋转技巧实际上跟VQ本意有点相悖。当然，VQ也可以改为按余弦值来找最邻近，这更契合旋转技巧，但也无法解释为什么旋转技巧对基于欧氏距离的VQ也有帮助。总的来说，旋转技巧起作用的根本原因，依旧是值得深思的问题。

最后，可能有读者疑问：既然VQ有这么多问题，为什么还要研究VQ呢？为什么不用更简单的FSQ呢？笔者认为，诸如FSQ等替代品，并不是在任何场景都能取代VQ，比如《VQ一下Key，Transformer的复杂度就变成线性了》介绍的Transformer-VQ，就很难用FSQ来替代VQ，因为它是每一层都要VQ一下，这样分配下来相当于说VQ的模型很小，而FSQ测试下来只有当模型足够大时表现才比VQ好。

小结 #

旋转技巧是近日arXiv上面提出的训练VQ（Vector Quantization）模型的新技术，它推广了原本的直通估计器（STE），声称能改善编码表的坍缩或利用率低等问题，本文对此进行了简单介绍，并给出了笔者对它的一些思考和疑问。

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