6 Aug

逻辑推理:拿了多少分(PuzzleUp)

A,B,C,D四人做10道回答是否的问题,答对了得一分,四人的答案和A,B,C的得分如图所示。问D的得分是多少?(附加说明:这里的答错不扣分)

事实上,这道题目本身已经把难度降到非常低了,因此推荐大家都去想一下。
如果你实在没有心思去想,可以直接看答案(不推荐)。

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5 Aug

两道无穷级数:自然数及其平方的倒数和

证明下列级数发散或者收敛:
(1) $\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ...$
(2) $\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ...$

一眼看上去,由于$1/x,1/{x^2}$都会趋向零,所以它们应该是收敛的。真的是这样吗?

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2 Aug

一道级数求和证明题(非数学归纳法)

今天在数学研发论坛看到了一道题目:

$$\sum_{j=0}^{j=n} (jx^j)={nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}/{(x-1)^2}$$

这道题实际是求$x+2x^2+3x^3+...+nx^n$的求和公式而已。

本来呢用数学归纳法是十分简单的(数学归纳法对于证明简单,对于推导就不行了),但是题目说不能用数学归纳法。只好用以下方法了。

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1 Aug

椭圆的周长与面积

椭圆面积和周长的求法,看上去没有什么区别。不过实际上它们的难度有着天壤之别。

椭圆所包围的面积是$S=\pi ab$,这里的a和b是半长轴和半短轴。仅根据椭圆标准方程就可以推导出来。

目前还没有找到椭圆周长的一般公式,要想精确求解,只有代入以下无穷级数:
$$C=2\pi a [1 - (1/2)^2 (\frac{c}{a})^2 - ({1\cdot 3}/{2\cdot 4})^2{c^4}/{3a^4} - ({1\cdot 3\cdot 5}/{2\cdot 4\cdot 6})^2{c^6}/{5a^6}-...]$$
可以写成:
$$C = 2\pi a \sum_{n=0}^{\infty} { - [\prod_{m=1}^n ({2m-1}/{2m})]^2 {c^{2n}}/{a^{2n}(2n - 1)}}$$

距离c 叫做椭圆的线性离心率,等于从中心到任一焦点的距离

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31 Jul

关于无理数及其和的证明

在中学,有理数的定义为整数和分数的集合,统一来说就是能够写成两个整数之比的数。那相对地,无理数自然就是不能写成两个整数之比的数了,也就是无限不循环小数,比如$\pi,\sqrt{2}$等等。历史上无理数的发现带来了第一次数学危机,并生下了一颗“金蛋”,不过发现者却因此丢掉了生命。让我们永远铭记——希帕索斯(Hippasus)

历史:

http://baike.baidu.com/view/1167.htm#2

在这里对无理数就不多说些什么了,主要是谈谈相关的证明而已。
先说明,以下是我自己的证明方法,当然我相信有一种方法是通用的,但是我没有找出来。

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29 Jul

生活中的趣味数学:同一天生日概率有多大

新浪科技讯 北京时间7月28日消息,据国外媒体报道,数学经常会让聪明人感觉自己笨得不行,有时甚至会让他们很生气。

事实上,数学本身非常有趣,它是我们日常生活的一部分,每个人都能从中获得享受。只不过在课堂上,数学被一些死板的老师教死板了。以下就是英国《每日邮报》最近公布的日常生活中的趣味数学:

你身上的计算器

从左到右给你的手指编

从左到右给你的手指编

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28 Jul

三百年之谜——费马大定理(历史+证明)

在“数学研发论坛”看到了,感到不错,转给大家!
原文是:http://bbs.emath.ac.cn/thread-1651-1-1.html

费马大定理,主要是指:

方程$x^n+y^n=z^n(n>=3,n \in R^+)$,x,y,z不可能同时为正整数。

具体内容请看:
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%A4%A7%E5%AE%9A%E7%90%86

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26 Jul

一道自然数的数学题

感觉题目有点像抽屉原理,不过似乎复杂一点:

有12个互不相等的自然数,它们均小于37,求证:这些自然数两两相减的差中,至少有3个相等

我的解答:

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