备忘:椭圆坐标与复三角函数
By 苏剑林 | 2011-04-10 | 47555位读者 |椭圆坐标系是一种二维正交坐标系。与直角坐标的转换关系为
$$\begin{aligned}x = a \cos h \mu \cos \nu \\ y = a \sin h \mu \sin \nu\end{aligned}$$
其中$(-a,0)$和$(a,0)$是两个焦点。
参看:http://zh.wikipedia.org/wiki/椭圆坐标系
另外,考虑$sin z$,其中$z=x +iy$,有
$$\sin z= i \cos x \sin h y + \sin x \cos h y$$
证明:
$2i sinz = e^{iz}-e^{-iz}= e^{ix-y} - e^{-ix+y}$
$$\begin{aligned}= e^(ix-y) - e^(ix+y) + e^(ix+y) - e^(-ix+y) \\ = e^{ix} (e^{-y} - e^y) + e^y (e^{ix} - e^{-ix}) \\ = -2 e^{ix} \sin h y + 2i e^y \sin x \\ = -2 (\cos x + i \sin x) \sin h y + 2i (e^y) \sin x\end{aligned}$$然后再乘上$-\frac{1}{2}i$:
$$\begin{aligned}\sin z = i (\cos x + i \sin x) \sin h y + (e^y) \sin x \\ = i \cos x \sin h y - \sin x \sin h y + e^y \sin x \\ = i \cos x \sin h y - \sin x( \sin h y - e^y) \\ = i \cos x \sin h y - (\frac{e^y - e^{-y} - 2e^y}{2}) \sin x \\ = i \cos x \sin h y + (\frac{e^y + e^{-y}}{2})\sin x \\ = i \cos x \sin h y + \sin x \cos h y\end{aligned}$$证明来源:http://au.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100418003726AAyRTR8
类似的还有
$$\begin{aligned}\cos z= -i \sin x \sin h y + \cos x \cos h y \\ \sin h z=i \sin y \cos h x + \cos y \sin h x\end{aligned}$$
$cosh z=i sin y sinh x + cos y cosh x$(这完全和椭圆坐标系对应起来了)
惊叹它们与椭圆坐标的相似性!
还有一点有趣的东西
$$\begin{aligned}\sin iz=i \sin h z \\ \sin h iz=i \sin z \\ \cos iz=i \cos h z \\ \cos h iz= i \cos z \\ |\sin z|=\sqrt{\sin^2 x+\sin h^2 y} \\ |\cos z|=\sqrt{\cos^2 x+\sin h^2 y} \\ |\sin h z|=\sqrt{\sin h^2 x+\sin^2 y} \\ |\cos h z|=\sqrt{\cos h^2 x-\sin^2 y}\end{aligned}$$
参考书籍:Applied complex variables for scientists and engineers
转载到请包括本文地址:https://spaces.ac.cn/archives/1314
更详细的转载事宜请参考:《科学空间FAQ》
如果您还有什么疑惑或建议,欢迎在下方评论区继续讨论。
如果您觉得本文还不错,欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!
如果您需要引用本文,请参考:
苏剑林. (Apr. 10, 2011). 《备忘:椭圆坐标与复三角函数 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/1314
@online{kexuefm-1314,
title={备忘:椭圆坐标与复三角函数},
author={苏剑林},
year={2011},
month={Apr},
url={\url{https://spaces.ac.cn/archives/1314}},
}
April 27th, 2011
恩...图挂....
这是一个特殊的图片格式,我发现在火狐下浏览正常,在ie下却显示不出来,郁闷。
我用遨游也不行...
svg的那个图片?
你ps下,改下格式应该没问题....
据我所知,傲游也是ie内核
June 20th, 2014
We're a group of volunteers and opening a brand new scheme in our community. Your site offered us with useful information to paintings on. You've performed a formidable job and our entire group can be thankful to you. dcfebdedcadbkgge