备忘：椭圆坐标与复三角函数

椭圆坐标系是一种二维正交坐标系。与直角坐标的转换关系为
$$\begin{aligned}x = a \cos h \mu \cos \nu \\ y = a \sin h \mu \sin \nu\end{aligned}$$

其中$(-a,0)$和$(a,0)$是两个焦点。

参看：http://zh.wikipedia.org/wiki/椭圆坐标系

另外，考虑$sin z$，其中$z=x +iy$，有
$$\sin z= i \cos x \sin h y + \sin x \cos h y$$

证明：

$2i sinz = e^{iz}-e^{-iz}= e^{ix-y} - e^{-ix+y}$
$$\begin{aligned}= e^(ix-y) - e^(ix+y) + e^(ix+y) - e^(-ix+y) \\ = e^{ix} (e^{-y} - e^y) + e^y (e^{ix} - e^{-ix}) \\ = -2 e^{ix} \sin h y + 2i e^y \sin x \\ = -2 (\cos x + i \sin x) \sin h y + 2i (e^y) \sin x\end{aligned}$$

然后再乘上$-\frac{1}{2}i$：
$$\begin{aligned}\sin z = i (\cos x + i \sin x) \sin h y + (e^y) \sin x \\ = i \cos x \sin h y - \sin x \sin h y + e^y \sin x \\ = i \cos x \sin h y - \sin x( \sin h y - e^y) \\ = i \cos x \sin h y - (\frac{e^y - e^{-y} - 2e^y}{2}) \sin x \\ = i \cos x \sin h y + (\frac{e^y + e^{-y}}{2})\sin x \\ = i \cos x \sin h y + \sin x \cos h y\end{aligned}$$

证明来源：http://au.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100418003726AAyRTR8

类似的还有
$$\begin{aligned}\cos z= -i \sin x \sin h y + \cos x \cos h y \\ \sin h z=i \sin y \cos h x + \cos y \sin h x\end{aligned}$$
$cosh z=i sin y sinh x + cos y cosh x$（这完全和椭圆坐标系对应起来了）

惊叹它们与椭圆坐标的相似性！

还有一点有趣的东西
$$\begin{aligned}\sin iz=i \sin h z \\ \sin h iz=i \sin z \\ \cos iz=i \cos h z \\ \cos h iz= i \cos z \\ |\sin z|=\sqrt{\sin^2 x+\sin h^2 y} \\ |\cos z|=\sqrt{\cos^2 x+\sin h^2 y} \\ |\sin h z|=\sqrt{\sin h^2 x+\sin^2 y} \\ |\cos h z|=\sqrt{\cos h^2 x-\sin^2 y}\end{aligned}$$

参考书籍：Applied complex variables for scientists and engineers

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