达尔文的进化学说告诉我们,自然界总是在众多的生物中挑出最能够适应环境的物种,赋予它们更高的生存几率,久而久之,这些物种经过亿万年的“优胜劣汰”,进化成了今天的千奇百怪的生物。无疑,经过长期的选择,优良的形状会被累积下来,换句话讲,这些物种在某些环境适应能力方面已经达到最优或近乎最优的状态(又是一个极值问题了)。好,现在我们来考虑蘑菇。
蘑菇是一种真菌生物,一般生长在阴暗潮湿的环境中。喜欢湿润的它自然也不希望散失掉过多的水分,因此,它努力地调整自身的形状,使它的“失水”尽可能地少。假设单位面积的蘑菇的失水速度是一致的,那么问题就变成了使一个给定体积的立体表面积尽可能少的问题了。并且考虑到水平各向同性生长的问题,理想的蘑菇形状应该就是一个平面图形的旋转体。那么这个旋转体是什么呢?聪明的你是否想到了是一个球体(的一部分)呢?
从对称角度看代数方程
By 苏剑林 | 2011-04-29 | 27039位读者 | 引用这些日子来,BoJone迷上了两个东西:最小作用量和对称。这两个“东西”在物理学中几乎占据着最重要的地位,前边已经说过,通过最小作用量原理能够构建起当代整个物理学的框架,体现着自然界的“经济头脑”;后者则是守恒的体现,也对应着自然界的“美感”。本文主要是从最简单的层面谈谈对称。
对称的东西很重要,很美。当然,这里所指的是数学上的对称。数学上有很多问题都可以列出对称的式子,而且由于其对称性,因此求解过程一般比不对称的式子简单不少。据说,当代最前沿的物理学框架都是用群论描述的(包括广义相对论),而群论正是用来研究对称的有力工具,可见,对称和对称的方法在实际中有着广泛的应用。(当然本文不讨论群论,关键是BoJone也不懂群论...^_^)
我们先来看二次方程,根据韦达定理,二次方程都可以表达成下面的形式:
$$\begin{aligned}x_1+x_2=a \\ x_1 x_2=b\end{aligned}$$
这是一个多对称的形式!这里的对称体现在将$x_1,x_2$互相替换后方程形式依然不变。如果我们设$x_1=y_1+y_2,x_2=y_1-y_2$,就可以变成
$$2y_1=a,y_1^2-y_2^2=b$$
这样很快就求出$y_1,y_2$了,继而能够求出方程的两个根。
备忘:椭圆坐标与复三角函数
By 苏剑林 | 2011-04-10 | 51070位读者 | 引用历史上的谜案——刘徽有没有使用外推法?
By 苏剑林 | 2011-03-12 | 31595位读者 | 引用话说当年我国古代数学家刘徽创立“割圆术”计算圆周率的事迹,在今天已被不少学生知晓;虽不能说家喻户晓,但是也为各教科书以及老师津津乐道。和古希腊的“数学之神”阿基米德同出一辙,刘徽也是使用圆的内接、外切正多边形来逼近圆形的;不一样的是,刘徽使用的方法是计算半径为1的圆的内接、外切正多边形的面积,而阿基米德计算的则是直径为1的圆的内接、外切正多边形的周长。两者的计算效果有什么区别呢?其实阿基米德的方法应该更快一点,阿基米德算到正n边形所得到的值,相当于刘徽算到正2n边形了。
在此我们不再对两者的计算方法进行区分,因为两者的本质都是一样的。按照现代数学的写法,“割圆术”的理论依据是
$$lim_{n\to \infty} n \sin(\frac{\pi}{n})=\pi\tag{1}$$
当然,刘徽不可能有现代计算正弦函数值的公式(现在计算正弦函数值一般用泰勒级数展开,而泰勒级数展开需要用到$\pi$的值),甚至在他那个时代就连笔墨也没有,据我所知即使是后来的祖冲之推算圆周率时,唯一的计算工具也只是现在称为“算筹”的小棍。不过刘徽还是凭借着超强的毅力,利用递推的方法逐步求圆周率。
[更新]将向量乘法“退化”到复数
By 苏剑林 | 2011-02-04 | 60520位读者 | 引用向量有两个乘法:点乘和叉乘,其结果又分别叫做数量积和向量积。在很多情况下,用这两个定义的乘法运算都能够给我们带来很大的方便(其实它就是在实际问题中抽象出来的)。不过,也有相当一部分的二维问题用复数来描述更为简洁。于是,为了整合两者的巧妙之处,有必要把向量的两个乘法运算“退化”到复数中去(为什么用“退化”?因为向量是多维的,可以是3维、4维等,而复数运算只是二维的,很明显这是一种“退化”而不是“拓展”^_^)
运算法则:
点乘:
总法则:$Z_1 \cdot Z_2=|Z_1||Z_2|\cos(arg\frac{Z_2}{Z_1})$
$$\begin{aligned}1\cdot i=0 \\ i\cdot i=1 \\ \exp(i\theta)\cdot \exp(i\varphi)=\cos(\varphi -\theta) \\ iexp(i\theta)\cdot \exp(i\varphi)=-\sin(\theta-\varphi ) \\ Z_1 \cdot Z_2=Z_1 \bar{Z}_2+Z_2 \bar{Z}_1\end{aligned}$$
《自然极值》系列——8.极值分析
By 苏剑林 | 2010-12-26 | 48536位读者 | 引用本篇文章是《自然极值》系列最后一篇文章,估计也是2010年最后一篇文章了。在这个美好的2010年,想必大家一定收获匪浅,BoJone也在2010年成长了很多。在2010年的尾声,BoJone和科学空间都祝大家在新的一年里更加开心快乐,在科学的道路上更快速地前行。
在本文,BoJone将与大家讨论求极值的最基本原理。这一探讨思路受到了天才的费恩曼所著《费恩曼物理讲义》的启迪。我们分别对函数求极值(求导)和泛函数极值(变分)进行一些简略的分析。
一、函数求极值
对于一个函数$y=f(x)$,设想它在$x=x_0$处取到最大值,那么显然对于很小的增量$\Delta x$,有
$$f(x_0+\Delta x) \leq f(x_0)\tag{3}$$根据泰勒级数,我们有
$f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$————(4)
《自然极值》系列——7.悬链线问题
By 苏剑林 | 2010-12-26 | 76442位读者 | 引用约翰与他同时代的110位学者有通信联系,进行学术讨论的信件约有2500封,其中许多已成为珍贵的科学史文献,例如同他的哥哥雅各布以及莱布尼茨、惠更斯等人关于悬链线、最速降线(即旋轮线)和等周问题的通信讨论,虽然相互争论不断,特别是约翰和雅各布互相指责过于尖刻,使兄弟之间时常造成不快,但争论无疑会促进科学的发展,最速降线问题就导致了变分法的诞生。
有意思的是,1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出过悬链线问题向数学界征求答案。即:
固定项链的两端,在重力场中让它自然垂下,求项链的曲线方程.
吊桥上方的悬垂钢索,挂着水珠的蜘蛛网,电杆间的电线都是悬链线。伽利略最早注意到悬链线,猜测悬链线是抛物线。1691年莱布尼兹、惠更斯以及约翰·伯努利各自得到正确答案,所用方法是诞生不久的微积分。
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