24 Aug

几何-算术均值不等式的一般证明

本证明是站长经过很长时间独立研究得出,望转载者要注明原作者和出处,否则定追究版权责任! (公式很多,推荐使用火狐浏览器)

关于这个不等式由来已久,从$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$开始,人们逐渐地发现,只要$a_1,a_2,...,a_n \geq 0$,那么就一定会有$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2...a_n}$。对于比较小的n,人们已经可以证明上式成立,但是,一般形式的证明则是近年来的事情。

我自己很早就接触到了这个不等式(好像是3年前,我读六年级),从那个时候开始,我就一直寻找这个不等式的证明,但是除了n=2的情况外,其余一直未果。直到三个月前的一节数学课,在发愣之余就想出来了(^_^)。一开始证明了n=3的情况,然后就势如破竹,证明了对于任何的n,这条不等式都成立。

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24 Aug

关于a,b的极限证明题目

证明下列极限:
$$\lim_{x \to 0}(\frac{a^x+b^x}{2})^{3/x}=ab\sqrt{ab}$$

解:
这是我认为比较难的极限题目之一,由麦克劳林公式可以推出:
$$a^x=1+x ln a+\frac{x^2 ln^2 a}{2!}+\frac{x^3 ln^3 a}{3!}+...$$

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16 Aug

微积分学习(一):极限

本文不是微积分教程,而是发表自己学习中的一些看法,以及与同好们讨论相关问题。

拿起任何一本“微积分”教程,都可以看见那专业而严格的数学语言,因此很多人望而生畏。的确,由于牛顿和莱布尼茨创立的微积分是不严格的,因此引发了第二次数学危机。经过法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯的努力,使得微积分有了前所未有的严密化,克服了第二次数学危机。加之后来的第三次数学危机,数学就更加严密了。

但是对于初学者,严密化的微积分令人十分费解。因此,我们不妨按照微积分的创立顺序,即“不严密——严密”的顺序来学习。这样不仅能够让我们更高效率地学习,而且增加学习数学的兴趣。

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12 Aug

无穷级数求和的积分审敛法

这是我研究级数求和的时候的一个猜测,现在已经发现为正确的。

存在级数$\sum_{x=1}^{\infty} f(x)$,若有

$\lim_{x -> \infty } \int f(x)dx -> \infty $,则该级数发散。

如果$\lim_{x -> \infty } \int f(x)dx $收敛,则该级数收敛。

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7 Aug

梅森素数的探索之旅

2009年5月22日,对于很多人来说并不是什么特别的日志,不过数学界这边又传来了一个“喜讯”:我们已经找到了第47个梅森素数,即$2^{42643801}-1$是一个素数!新的素数已于6月12日通过法国的Tony Reix的验证,这是目前的第二大素数,有12,837,064位数字!这是通过参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目而发现的。让我们来共同回顾这一素数之旅!

素数/梅森素数

素数,现在课本上都已经成为“质数”了,不过目前很多数学家、爱好者都还是将其称为素数(也许这个名字好听)。这是指一些不可分解成两个比它本身小的两个整数相乘的形式的数,如2、3、5、7等。除了2外,所有的素数都是奇数。

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6 Aug

逻辑推理:拿了多少分(PuzzleUp)

A,B,C,D四人做10道回答是否的问题,答对了得一分,四人的答案和A,B,C的得分如图所示。问D的得分是多少?(附加说明:这里的答错不扣分)

事实上,这道题目本身已经把难度降到非常低了,因此推荐大家都去想一下。
如果你实在没有心思去想,可以直接看答案(不推荐)。

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5 Aug

两道无穷级数:自然数及其平方的倒数和

证明下列级数发散或者收敛:
(1) $\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ...$
(2) $\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ...$

一眼看上去,由于$1/x,1/{x^2}$都会趋向零,所以它们应该是收敛的。真的是这样吗?

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2 Aug

一道级数求和证明题(非数学归纳法)

今天在数学研发论坛看到了一道题目:

$$\sum_{j=0}^{j=n} (jx^j)={nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}/{(x-1)^2}$$

这道题实际是求$x+2x^2+3x^3+...+nx^n$的求和公式而已。

本来呢用数学归纳法是十分简单的(数学归纳法对于证明简单,对于推导就不行了),但是题目说不能用数学归纳法。只好用以下方法了。

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