网友:椭圆定长弦中点轨迹的一种解法
By 苏剑林 | 2013-02-02 | 32876位读者 | 引用大概在半年前,我曾用“化圆法”解决了椭圆内定长弦中点轨迹问题,求出了轨迹方程。前几天,我收到了网名为“理想”的网友的Email,他提出了自己对这个问题的解法,并得到了形式不同的轨迹方程,因此对两者的等价性表示疑惑。经过检验,我跟他的轨迹方程基本上是等价的,不过,他求出的轨迹方程总包括了原点,这是一点不足之处。但是看起来,他的轨迹方程却感觉好看一些。这的确很让人意外,因为从他的化简过程来看,有种“化简为繁”的味道,却得出了相当简洁的答案,着实有趣。
经过网友的同意,将他的过程贴在这里与大家分享!后面附有pdf文档,欢迎下载阅读。希望在科学空间可以看到更多的读者留下的痕迹。
椭圆定长弦中点轨迹的一种解法
作者:理想
本文介绍了一种计算椭圆定长弦中点轨迹的方法。设椭圆长、短轴分别为$2a$、$2b$,弦长为$2r$,随着弦的两端在椭圆上滑动,弦的中点形成的轨迹为:
$$(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - 1)(\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} + \frac{r^2}{a^2b^2}) + \frac{r^2}{a^2b^2} = 0$$
它不是一个椭圆,而是一个高次曲线。
椭圆内的一根定长弦(化圆法)
By 苏剑林 | 2012-07-06 | 29957位读者 | 引用在上一篇文章《抛物线内的一根定长弦》中,我们解决了抛物线内的定长弦中点轨迹问题,那还算是一个比较简单的问题。虽然同是圆锥曲线,但把同样的问题延伸到椭圆上,却不是那么简单了。因为椭圆的轨迹方程的x,y坐标通过平方相互“纠缠”在一起,不像抛物线方程那样可以容易分离开来(指的是分离成$y=f(x)$的形式)。BoJone尝试了若干种方法,还是难以把它的轨迹求出来。最后通过“化圆法”,终得轨迹方程。
所谓化圆法,就是将椭圆通过拉伸变成一个圆,利用圆的性质来解决一些问题。众所周知,相比椭圆,圆具有相当多的简单性。这是我高考前研究各种各样的高考圆锥曲线题时,所总结出来的一种方法。有时候,把椭圆拉伸为圆后,结论就相当显然了;同时,圆作为一个特殊的椭圆,椭圆的一般结论,放在圆上自然也是成立的。所以要研究椭圆问题,不妨先研究它的特例——圆问题;另一方面,利用圆的对称性等等,也可以大幅度地减少计算量,所以BoJone很喜欢这个方法。更想不到的是,它居然在求本文的轨迹时派上用场了。
备忘:椭圆坐标与复三角函数
By 苏剑林 | 2011-04-10 | 47555位读者 | 引用捉弄计划的失败——单摆周期
By 苏剑林 | 2010-06-09 | 42996位读者 | 引用“滴答滴答,滴答滴答——”当我们看到家里的摆钟来回摆动,并且能够准确地报时的时候,有没有想过其中的奥妙呢?
有一天,你想捉弄一下妈妈,把钟摆系上一个重物,心想着钟一定会走得更快,妈妈就会乱套了。可是很快你会失望地发现,摆钟依然准时地走着,没有任何异常,时间仿佛在宣告他的不可控制。你感到非常纳闷:为什么我的计划会失败呢?
据说,世界上第一个研究单摆的人是伽利略,他通过多次实验得出结论:单摆的周期只取决于摆绳的长度,和摆的重量无关。这是你明白了,原来要捉弄妈妈,应该要增加钟摆长度才对...^_^
现在我们来分析一下这个单摆....
椭圆面积和周长的求法,看上去没有什么区别。不过实际上它们的难度有着天壤之别。
椭圆所包围的面积是$S=\pi ab$,这里的a和b是半长轴和半短轴。仅根据椭圆标准方程就可以推导出来。
目前还没有找到椭圆周长的一般公式,要想精确求解,只有代入以下无穷级数:
$$C=2\pi a [1 - (1/2)^2 (\frac{c}{a})^2 - ({1\cdot 3}/{2\cdot 4})^2{c^4}/{3a^4} - ({1\cdot 3\cdot 5}/{2\cdot 4\cdot 6})^2{c^6}/{5a^6}-...]$$
可以写成:
$$C = 2\pi a \sum_{n=0}^{\infty} { - [\prod_{m=1}^n ({2m-1}/{2m})]^2 {c^{2n}}/{a^{2n}(2n - 1)}}$$
距离c 叫做椭圆的线性离心率,等于从中心到任一焦点的距离
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