2 Feb

网友:椭圆定长弦中点轨迹的一种解法

大概在半年前,我曾用“化圆法”解决了椭圆内定长弦中点轨迹问题,求出了轨迹方程。前几天,我收到了网名为“理想”的网友的Email,他提出了自己对这个问题的解法,并得到了形式不同的轨迹方程,因此对两者的等价性表示疑惑。经过检验,我跟他的轨迹方程基本上是等价的,不过,他求出的轨迹方程总包括了原点,这是一点不足之处。但是看起来,他的轨迹方程却感觉好看一些。这的确很让人意外,因为从他的化简过程来看,有种“化简为繁”的味道,却得出了相当简洁的答案,着实有趣。

经过网友的同意,将他的过程贴在这里与大家分享!后面附有pdf文档,欢迎下载阅读。希望在科学空间可以看到更多的读者留下的痕迹。

椭圆定长弦中点轨迹的一种解法

作者:理想

本文介绍了一种计算椭圆定长弦中点轨迹的方法。设椭圆长、短轴分别为$2a$、$2b$,弦长为$2r$,随着弦的两端在椭圆上滑动,弦的中点形成的轨迹为:
$$(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - 1)(\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} + \frac{r^2}{a^2b^2}) + \frac{r^2}{a^2b^2} = 0$$
它不是一个椭圆,而是一个高次曲线。

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6 Jul

椭圆内的一根定长弦(化圆法)

在上一篇文章《抛物线内的一根定长弦》中,我们解决了抛物线内的定长弦中点轨迹问题,那还算是一个比较简单的问题。虽然同是圆锥曲线,但把同样的问题延伸到椭圆上,却不是那么简单了。因为椭圆的轨迹方程的x,y坐标通过平方相互“纠缠”在一起,不像抛物线方程那样可以容易分离开来(指的是分离成$y=f(x)$的形式)。BoJone尝试了若干种方法,还是难以把它的轨迹求出来。最后通过“化圆法”,终得轨迹方程。

椭圆内的定长弦1

椭圆内的定长弦1

所谓化圆法,就是将椭圆通过拉伸变成一个圆,利用圆的性质来解决一些问题。众所周知,相比椭圆,圆具有相当多的简单性。这是我高考前研究各种各样的高考圆锥曲线题时,所总结出来的一种方法。有时候,把椭圆拉伸为圆后,结论就相当显然了;同时,圆作为一个特殊的椭圆,椭圆的一般结论,放在圆上自然也是成立的。所以要研究椭圆问题,不妨先研究它的特例——圆问题;另一方面,利用圆的对称性等等,也可以大幅度地减少计算量,所以BoJone很喜欢这个方法。更想不到的是,它居然在求本文的轨迹时派上用场了。

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29 Aug

三角半分正方形

印象中我在初一曾从一个美术生好朋友那里学到了一个画椭圆的方法:选取一个矩形,取一组邻边的中点,连接并切除得到的三角形;在剩下的五边形中,继续取邻边中点,连接,切除,得到一个如下图的图形;然后作一个尽可能与下图AG、GH、HI、IJ相切的弧,这个弧就大概为四分之一的椭圆了。

椭圆的美术画法

椭圆的美术画法

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10 Apr

备忘:椭圆坐标与复三角函数

椭圆坐标系是一种二维正交坐标系。与直角坐标的转换关系为
$$\begin{aligned}x = a \cos h \mu \cos \nu \\ y = a \sin h \mu \sin \nu\end{aligned}$$

其中$(-a,0)$和$(a,0)$是两个焦点。

参看:http://zh.wikipedia.org/wiki/椭圆坐标系

Elliptical_coordinates_grid.svg

Elliptical_coordinates_grid.svg

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9 Jun

捉弄计划的失败——单摆周期

老式机械摆钟

老式机械摆钟

“滴答滴答,滴答滴答——”当我们看到家里的摆钟来回摆动,并且能够准确地报时的时候,有没有想过其中的奥妙呢?

有一天,你想捉弄一下妈妈,把钟摆系上一个重物,心想着钟一定会走得更快,妈妈就会乱套了。可是很快你会失望地发现,摆钟依然准时地走着,没有任何异常,时间仿佛在宣告他的不可控制。你感到非常纳闷:为什么我的计划会失败呢?

据说,世界上第一个研究单摆的人是伽利略,他通过多次实验得出结论:单摆的周期只取决于摆绳的长度,和摆的重量无关。这是你明白了,原来要捉弄妈妈,应该要增加钟摆长度才对...^_^

现在我们来分析一下这个单摆....

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1 Aug

椭圆的周长与面积

椭圆面积和周长的求法,看上去没有什么区别。不过实际上它们的难度有着天壤之别。

椭圆所包围的面积是$S=\pi ab$,这里的a和b是半长轴和半短轴。仅根据椭圆标准方程就可以推导出来。

目前还没有找到椭圆周长的一般公式,要想精确求解,只有代入以下无穷级数:
$$C=2\pi a [1 - (1/2)^2 (\frac{c}{a})^2 - ({1\cdot 3}/{2\cdot 4})^2{c^4}/{3a^4} - ({1\cdot 3\cdot 5}/{2\cdot 4\cdot 6})^2{c^6}/{5a^6}-...]$$
可以写成:
$$C = 2\pi a \sum_{n=0}^{\infty} { - [\prod_{m=1}^n ({2m-1}/{2m})]^2 {c^{2n}}/{a^{2n}(2n - 1)}}$$

距离c 叫做椭圆的线性离心率,等于从中心到任一焦点的距离

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