向量有两个乘法:点乘和叉乘,其结果又分别叫做数量积和向量积。在很多情况下,用这两个定义的乘法运算都能够给我们带来很大的方便(其实它就是在实际问题中抽象出来的)。不过,也有相当一部分的二维问题用复数来描述更为简洁。于是,为了整合两者的巧妙之处,有必要把向量的两个乘法运算“退化”到复数中去(为什么用“退化”?因为向量是多维的,可以是3维、4维等,而复数运算只是二维的,很明显这是一种“退化”而不是“拓展”^_^)

运算法则:

点乘:
总法则:$Z_1 \cdot Z_2=|Z_1||Z_2|\cos(arg\frac{Z_2}{Z_1})$
$$\begin{aligned}1\cdot i=0 \\ i\cdot i=1 \\ \exp(i\theta)\cdot \exp(i\varphi)=\cos(\varphi -\theta) \\ iexp(i\theta)\cdot \exp(i\varphi)=-\sin(\theta-\varphi ) \\ Z_1 \cdot Z_2=Z_1 \bar{Z}_2+Z_2 \bar{Z}_1\end{aligned}$$

叉乘:
由于二维向量的叉积都指向第三维,所以可以认为复数的叉积结果都是一个数。
总法则:$Z_1 \times Z_2=|Z_1| |Z_2| sin(arg\frac{Z_2}{Z_1})$
$$\begin{aligned}1\times i=1 \\ i\times i=0 \\ \exp(i\theta) \times \exp(i\varphi)=\sin(\varphi-\theta ) \\ iexp(i\theta) \times \exp(i\varphi)=-\cos(\theta-\varphi ) \\ Z_1 \times Z_2=(Z_1 \bar{Z}_2-Z_2 \bar{Z}_1)i\end{aligned}$$

变换关系:
$$\begin{aligned}Z_1 \times Z_2=-Z_2 \times Z_1 \\ Z_1 \times (i Z_2)=Z_1\cdot Z_2 \\ Z_1 \cdot (i Z_2)=-Z_1 \times Z_2\end{aligned}$$

微分恒等关系:
$$Z\cdot dZ=|Z| d|Z|$$
$Z*(i dZ)=-(iZ)*dZ=+-|Z|\sqrt{dZ*dZ-(d|Z|)^2}$(正负待定)

于是,复数便有了三种乘法了。它们代表的意义都不一样!复数原来的乘法是一种旋转和伸长,而点积和叉积分别是有关两个复数的夹角的余弦和正弦。

这是用复数研究三体问题周期轨道时所悟到的思想,特此记录!

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