[更新]将向量乘法“退化”到复数
By 苏剑林 | 2011-02-04 | 54915位读者 |向量有两个乘法:点乘和叉乘,其结果又分别叫做数量积和向量积。在很多情况下,用这两个定义的乘法运算都能够给我们带来很大的方便(其实它就是在实际问题中抽象出来的)。不过,也有相当一部分的二维问题用复数来描述更为简洁。于是,为了整合两者的巧妙之处,有必要把向量的两个乘法运算“退化”到复数中去(为什么用“退化”?因为向量是多维的,可以是3维、4维等,而复数运算只是二维的,很明显这是一种“退化”而不是“拓展”^_^)
运算法则:
点乘:
总法则:$Z_1 \cdot Z_2=|Z_1||Z_2|\cos(arg\frac{Z_2}{Z_1})$
$$\begin{aligned}1\cdot i=0 \\ i\cdot i=1 \\ \exp(i\theta)\cdot \exp(i\varphi)=\cos(\varphi -\theta) \\ iexp(i\theta)\cdot \exp(i\varphi)=-\sin(\theta-\varphi ) \\ Z_1 \cdot Z_2=Z_1 \bar{Z}_2+Z_2 \bar{Z}_1\end{aligned}$$
叉乘:
由于二维向量的叉积都指向第三维,所以可以认为复数的叉积结果都是一个数。
总法则:$Z_1 \times Z_2=|Z_1| |Z_2| sin(arg\frac{Z_2}{Z_1})$
$$\begin{aligned}1\times i=1 \\ i\times i=0 \\ \exp(i\theta) \times \exp(i\varphi)=\sin(\varphi-\theta ) \\ iexp(i\theta) \times \exp(i\varphi)=-\cos(\theta-\varphi ) \\ Z_1 \times Z_2=(Z_1 \bar{Z}_2-Z_2 \bar{Z}_1)i\end{aligned}$$
变换关系:
$$\begin{aligned}Z_1 \times Z_2=-Z_2 \times Z_1 \\ Z_1 \times (i Z_2)=Z_1\cdot Z_2 \\ Z_1 \cdot (i Z_2)=-Z_1 \times Z_2\end{aligned}$$
微分恒等关系:
$$Z\cdot dZ=|Z| d|Z|$$
$Z*(i dZ)=-(iZ)*dZ=+-|Z|\sqrt{dZ*dZ-(d|Z|)^2}$(正负待定)
于是,复数便有了三种乘法了。它们代表的意义都不一样!复数原来的乘法是一种旋转和伸长,而点积和叉积分别是有关两个复数的夹角的余弦和正弦。
这是用复数研究三体问题周期轨道时所悟到的思想,特此记录!
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February 4th, 2011
……$i*i=1$以下的式子我就不能理解了。
咦,中间还有个点,不见了。
你想打点的话,就打*,因为那个中间的点不属于英文符号。
其实你只要记住$exp(i\theta)=cos\theta+i sin\theta=(cos\theta,sin\theta)$就可以理解了。不过要谨慎的是,不要轻易把这种运算用于应试教育...
原来是把欧拉公式右半边作为一个复数啊。理解理解。
不过我又有麻烦了……好像$(a_1,b_1) \times (a_2,b_2)=(0,0,a_1 b_2-b_1 a_2)$,但是这里我不知道该怎么把这种定义的计算转化成向量的形式。
“原来是把欧拉公式右半边作为一个复数啊。”本来就是一个复数呀。
不能这样,严格来写是$(a_1,b_1,0) \times (a_2,b_2,0)=(0,0,a_1 b_2-b_1 a_2)$,须是三维的。“该怎么把这种定义的计算转化成向量的形式。”这是啥意思?这不就是两个向量的叉乘了吗?
哦……我知道了。我的意思是:为什么$1 \times i=0$呢?我想$(1,0,0) \times (0,1,0)$的结果不是0啊。
我错了...笔误,已修正
Ah-Oh~~~
February 10th, 2011
弱弱地问一下:我算出来的貌似成了这样——$exp(i\theta)\times exp(i\varphi)=-sin(\theta-\varphi)$,不知道哪里出了问题。还有,最后一个式子中最后一个等号后的我不太理解,只好求解释了。。。
惭愧...你是对的。看来以后我要多检查几遍再发。
最后一个式子是建立在倒数第二个式子的基础上的,并利用$(\vec{a}\times\vec{b})^2=\vec{a}^2 \vec{b}^2-(\vec{a}*\vec{b})^2$