24 Aug

关于a,b的极限证明题目

证明下列极限:
$$\lim_{x \to 0}(\frac{a^x+b^x}{2})^{3/x}=ab\sqrt{ab}$$

解:
这是我认为比较难的极限题目之一,由麦克劳林公式可以推出:
$$a^x=1+x ln a+\frac{x^2 ln^2 a}{2!}+\frac{x^3 ln^3 a}{3!}+...$$

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16 Aug

微积分学习(一):极限

本文不是微积分教程,而是发表自己学习中的一些看法,以及与同好们讨论相关问题。

拿起任何一本“微积分”教程,都可以看见那专业而严格的数学语言,因此很多人望而生畏。的确,由于牛顿和莱布尼茨创立的微积分是不严格的,因此引发了第二次数学危机。经过法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯的努力,使得微积分有了前所未有的严密化,克服了第二次数学危机。加之后来的第三次数学危机,数学就更加严密了。

但是对于初学者,严密化的微积分令人十分费解。因此,我们不妨按照微积分的创立顺序,即“不严密——严密”的顺序来学习。这样不仅能够让我们更高效率地学习,而且增加学习数学的兴趣。

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12 Aug

无穷级数求和的积分审敛法

这是我研究级数求和的时候的一个猜测,现在已经发现为正确的。

存在级数$\sum_{x=1}^{\infty} f(x)$,若有

$\lim_{x -> \infty } \int f(x)dx -> \infty $,则该级数发散。

如果$\lim_{x -> \infty } \int f(x)dx $收敛,则该级数收敛。

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7 Aug

梅森素数的探索之旅

2009年5月22日,对于很多人来说并不是什么特别的日志,不过数学界这边又传来了一个“喜讯”:我们已经找到了第47个梅森素数,即$2^{42643801}-1$是一个素数!新的素数已于6月12日通过法国的Tony Reix的验证,这是目前的第二大素数,有12,837,064位数字!这是通过参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目而发现的。让我们来共同回顾这一素数之旅!

素数/梅森素数

素数,现在课本上都已经成为“质数”了,不过目前很多数学家、爱好者都还是将其称为素数(也许这个名字好听)。这是指一些不可分解成两个比它本身小的两个整数相乘的形式的数,如2、3、5、7等。除了2外,所有的素数都是奇数。

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6 Aug

逻辑推理:拿了多少分(PuzzleUp)

A,B,C,D四人做10道回答是否的问题,答对了得一分,四人的答案和A,B,C的得分如图所示。问D的得分是多少?(附加说明:这里的答错不扣分)

事实上,这道题目本身已经把难度降到非常低了,因此推荐大家都去想一下。
如果你实在没有心思去想,可以直接看答案(不推荐)。

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5 Aug

两道无穷级数:自然数及其平方的倒数和

证明下列级数发散或者收敛:
(1) $\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ...$
(2) $\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ...$

一眼看上去,由于$1/x,1/{x^2}$都会趋向零,所以它们应该是收敛的。真的是这样吗?

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2 Aug

一道级数求和证明题(非数学归纳法)

今天在数学研发论坛看到了一道题目:

$$\sum_{j=0}^{j=n} (jx^j)={nx^{n+2}-(n+1)x^{n+1}+x}/{(x-1)^2}$$

这道题实际是求$x+2x^2+3x^3+...+nx^n$的求和公式而已。

本来呢用数学归纳法是十分简单的(数学归纳法对于证明简单,对于推导就不行了),但是题目说不能用数学归纳法。只好用以下方法了。

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1 Aug

椭圆的周长与面积

椭圆面积和周长的求法,看上去没有什么区别。不过实际上它们的难度有着天壤之别。

椭圆所包围的面积是$S=\pi ab$,这里的a和b是半长轴和半短轴。仅根据椭圆标准方程就可以推导出来。

目前还没有找到椭圆周长的一般公式,要想精确求解,只有代入以下无穷级数:
$$C=2\pi a [1 - (1/2)^2 (\frac{c}{a})^2 - ({1\cdot 3}/{2\cdot 4})^2{c^4}/{3a^4} - ({1\cdot 3\cdot 5}/{2\cdot 4\cdot 6})^2{c^6}/{5a^6}-...]$$
可以写成:
$$C = 2\pi a \sum_{n=0}^{\infty} { - [\prod_{m=1}^n ({2m-1}/{2m})]^2 {c^{2n}}/{a^{2n}(2n - 1)}}$$

距离c 叫做椭圆的线性离心率,等于从中心到任一焦点的距离

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