科学空间|Scientific Spaces

科学空间曾经提到过$e^{i\pi}+1=0$这条被誉为“数学最卓越的公式的公式之一”的公式，而读者们或许很就之前就已经听说过甚至证明过它了。那么，各位读者是否还知道其他的一些关于e,i,π的轶事呢？例如你知道$i^i$等于多少吗？还有$i^{1//i}$呢？

本文就让我们来欣赏一次数学之美！

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本文将再次谈到对称这个话题，不过这一次的对象不是“等式”，而是“不等式”。

在数学研究中，我们经常会遇到各种各样的函数式子，其中有相当一部分是“对称”的。什么是对称的函数呢？对称有很多种说法，但是针对于多元对称式，我们的定义为满足$f(x_1,x_2,...,x_n)=f(y_1,y_2,...,y_n)$的函数，其中$(y_1,y_2,...,y_n)$是$(x_1,x_2,...,x_n)$的任意一个排列。通俗来讲，就是将式子中任意两个未知数交换位置，得到的式子还是和原来的式子一样。例如$\sin x+\sin y$，把$x,y$交换位置后得到$\sin y+\sin x$，还是和原来的一样；再如$xy+yz+zx$，将y,z互换后可以得到$xz+zy+yx$，结果还是和原式一样；等等。有些对称的函数是一个n次的多项式，那么就叫它为n次对称多项式，上边的例子$xz+zy+yx$就是一个三元二次对称多项式。

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素数是数的基本单元，就如同高楼大厦中的砖块一样。显然，素数有无穷多个是数论研究价值的前提。不然，数的研究就局限在有限个素数之内，那么很多数字就会失去了它们的魅力。就好比只有有限块砖头，就不能创建出建筑的奇迹一般。下面介绍两个关于素数无穷的经典证明，其中一个是欧几里得的证明，这是最原始、最简单的证法，相信很多读者已经学习过了，在此还是要提一下；另外一个是我在《怎样解题》中看到的，原作者是欧拉，也是一个非常美妙的证明。当然，本文强调的思想，论证过程可能会有一些不严谨的地方，请读者完善^_^

一、欧几里得证明

这个证明思想非常简单：若干个素数的积加上1后会产生新的素数因子。要是素数只有n个，那么我们就把它们相乘，然后加上1，得到的将会是什么呢？如果是一个素数，那么将会与素数只有n个矛盾；如果是一个合数，它除以原来的n个素数都不是整数，那么它就会拥有新的素数因子了，这还是和只有n个素数矛盾。不论哪种情况，只有素数有限，就会得出矛盾，于是素数必然是无限的。

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北大这次也太不够朋友了，华约、卓越的成绩昨天就已经出来了，北大的今天才查到（不知道它是昨晚公布还是今天早上公布的），着急等待了一整天。千呼万唤，总算出来了。

很遗憾地告诉大家，就目前的情况来看，北大自招是没戏了。271的总分，很难被通过...

自主招生 成绩

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本文的最新版本位于：http://kexue.fm/archives/2208/

亲爱的读者朋友们，科学空间版的理解矩阵已经来到了BoJone认为是最激动人心的部分了，那就是关于行列式的叙述。这部分内容没有在孟岩的文章中被谈及到，是我自己结合了一些书籍和网络资源而得出的一些看法。其中最主要的书籍是《数学桥》，而追本溯源，促进我研究这方面的内容的是matrix67的那篇《教材应该怎么写》。本文包含了相当多的直观理解内容，在我看来，这部分内容也许不是正统的观点，但是至少在某种程度上能够促进我们对线性代数的理解。

大多数线性代数引入行列式的方式都是通过讲解线性方程组的，这种方式能够让学生很快地掌握它的计算，以及给出了一个最实际的应用（就是解方程组啦）。但是这很容易让读者走进一个误区，让他们认为线性代数就是研究解方程组的。这样并不能让读者真正理解到它的本质，而只有当我们对它有了一个直观熟练的感觉，我们才能很好地运用它。

行列式的出现其实是为了判断一个矩阵是否可逆的，它通过某些方式构造出一个“相对简单”的函数来达到这个目的，这个函数就是矩阵的行列式。让我们来反思一下，矩阵可逆意味着什么呢？之前已经提到过，矩阵是从一个点到另外一个点的变换，那么逆矩阵很显然就是为了把它变换回来。我们还说过，“运动是相对的”，点的变换又可以用坐标系的变换来实现。但是，按照我们的直觉，不同的坐标系除了有那些运算上的复杂度不同（比如一般的仿射坐标系计算点积比直角坐标系复杂）之外，不应该有其他的不同了，用物理的语言说，就是一切坐标系都是平权的。那么给出一个坐标系，可以自然地变换到另外一个坐标系，也可以自然地将它变换回来。既然矩阵是这种坐标系的一个描述，那么矩阵不可逆的唯一可能性就是：

这个$n$阶矩阵的$n$个列向量根本就构不成一个$n$维空间的坐标系。

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也许当我们从小学数学进入中学数学的过程中，让我们最郁闷的事情就是课本上把用的好好的角度制改为弧度制了，那个好好的360°的周角无端端变成了一个无理数$2\pi$，为此还多了一堆转换公式，那时这可把我折腾了好一阵子。为什么一个完美的360°不用，反而转向一个无理数$2\pi$？这里边涉及到了相当多的原因，在这些原因中，重新体现了数学体系的一致与简约。当然，文章里的观点只是我自己的看法，仅供大家参考。

弧度制：简约的要求

如果读者已经学过了极限理论，那么我就可以直接说，引入弧度制，是为了在这样的一种角的度量体制下，满足：
$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$$

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大概在半年前，我曾用“化圆法”解决了椭圆内定长弦中点轨迹问题，求出了轨迹方程。前几天，我收到了网名为“理想”的网友的Email，他提出了自己对这个问题的解法，并得到了形式不同的轨迹方程，因此对两者的等价性表示疑惑。经过检验，我跟他的轨迹方程基本上是等价的，不过，他求出的轨迹方程总包括了原点，这是一点不足之处。但是看起来，他的轨迹方程却感觉好看一些。这的确很让人意外，因为从他的化简过程来看，有种“化简为繁”的味道，却得出了相当简洁的答案，着实有趣。

经过网友的同意，将他的过程贴在这里与大家分享！后面附有pdf文档，欢迎下载阅读。希望在科学空间可以看到更多的读者留下的痕迹。

椭圆定长弦中点轨迹的一种解法

作者：理想

本文介绍了一种计算椭圆定长弦中点轨迹的方法。设椭圆长、短轴分别为$2a$、$2b$，弦长为$2r$，随着弦的两端在椭圆上滑动，弦的中点形成的轨迹为：
$$(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - 1)(\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} + \frac{r^2}{a^2b^2}) + \frac{r^2}{a^2b^2} = 0$$
它不是一个椭圆，而是一个高次曲线。

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在《自然极值》系列文章中，我引用了《数学方法论与解题研究》（张雄，李得虎编著）中提到的“平衡态公理”，并用它来解决了一些数学物理问题。平衡态公理讲的是系统的平衡状态总是在势能取极（小）值时取到，简单来讲就是自然界总向势能更低的方向发展，比如“水往低处流”。这在经典力学中本身是没有任何问题的，但在有些时候，我们在应用的时候可能会不自觉地将它想象成为“系统的平衡状态总是在总能量取极（小）值时取到”。然而，这却是不正确的。本文就是要探讨这个问题。

先来看看平衡态公理的来源。从最小作用量原理出发，考虑保守系统，每一个系统都应该对应着一个取极值的作用量S：
$$S=\int_{t_1}^{t_2} L(x,\dot{x})dt$$

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