网友:椭圆定长弦中点轨迹的一种解法

大概在半年前，我曾用“化圆法”解决了椭圆内定长弦中点轨迹问题，求出了轨迹方程。前几天，我收到了网名为“理想”的网友的Email，他提出了自己对这个问题的解法，并得到了形式不同的轨迹方程，因此对两者的等价性表示疑惑。经过检验，我跟他的轨迹方程基本上是等价的，不过，他求出的轨迹方程总包括了原点，这是一点不足之处。但是看起来，他的轨迹方程却感觉好看一些。这的确很让人意外，因为从他的化简过程来看，有种“化简为繁”的味道，却得出了相当简洁的答案，着实有趣。

经过网友的同意，将他的过程贴在这里与大家分享！后面附有pdf文档，欢迎下载阅读。希望在科学空间可以看到更多的读者留下的痕迹。

椭圆定长弦中点轨迹的一种解法

作者：理想

本文介绍了一种计算椭圆定长弦中点轨迹的方法。设椭圆长、短轴分别为$2a$、$2b$，弦长为$2r$，随着弦的两端在椭圆上滑动，弦的中点形成的轨迹为：

$$(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - 1)(\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} + \frac{r^2}{a^2b^2}) + \frac{r^2}{a^2b^2} = 0$$
它不是一个椭圆，而是一个高次曲线。

设椭圆长、短轴分别为$2a$、$2b$，弦长为$2r$，设弦的两端分别为 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, 弦中点为 $P(x, y)$, 有如下关系：

$$\begin{eqnarray*}x = \frac{x_1 + x_2}{2}\\ y = \frac{y_1 + y_2}{2}\end{eqnarray*}$$

条件一：点$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$在椭圆上，满足椭圆方程：

$$\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1\tag{1}$$
$$\frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} = 1\tag{2}$$
条件二：弦长$|AB| = 2r$：
$$(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = 4r^2\tag{3}$$
第一个关键方程：A、B两点椭圆方程相加：(1) + (2)：

$$\begin{aligned}\frac{x_1^2 + x_2^2}{a^2} + \frac{y_1^2 + y_2^2}{b^2} = 2 \\ \frac{(x_1 + x_2)^2 + (x_1 - x_2)^2}{a^2} + \frac{(y_1 + y_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}{b^2} = 4\end{aligned}\tag{4}$$

设$x_1 - x_2 = 2w$， $y_1 - y_2 = 2h$， 结合 $x_1 + x_2 = 2x$， $y_1 + y_2 = 2y$， 代入(4):

$$\begin{aligned}\frac{4x^2 + 4w^2}{a^2} + \frac{4y^2 + 4h^2}{b^2} = 4 \\ \frac{x^2 + w^2}{a^2} + \frac{y^2 + h^2}{b^2} = 1\end{aligned}\tag{5}$$
得到第一个关键方程(5)。

第二个关键方程：(1) - (2)：

$$\begin{aligned}\frac{x_1^2 - x_2^2}{a^2} + \frac{y_1^2 - y_2^2}{b^2} = 0 \\ \frac{(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)}{a^2} + \frac{(y_1 + y_2)(y_1 - y_2)}{b^2} = 0 \\ \frac{2x\cdot 2w}{a^2} + \frac{2y\cdot 2h}{b^2} = 0\end{aligned}$$
移项，两边平方（消去负号）：
$$\frac{x^2}{a^2}\cdot\frac{w^2}{a^2} = \frac{y^2}{b^2}\cdot\frac{h^2}{b^2}\tag{6}$$ 得到第二个关键方程(6)。

第三个关键方程：设$2w = x_1 - x_2$，$2h = y_1 - y_2$，代入(4)式：

$$w^2 + h^2 = r^2\tag{7}$$ 得到第三个关键方程(7)。

综上，得到的三个关键方程如下：

$$\begin{eqnarray*}\frac{x^2 + w^2}{a^2} + \frac{y^2 + h^2}{b^2} = 1......(8) \\ \frac{x^2}{a^2}\cdot\frac{w^2}{a^2} =\frac{y^2}{b^2}\cdot\frac{h^2}{b^2} ......(9)\\ w^2 + h^2 =r^2......(10) \end{eqnarray*}$$

只要从中消去$w^2$和$h^2$项，即可得到仅包含$x^2$和$y^2$的曲线方程。下面是一种解法：设

$$\begin{eqnarray*}p = \frac{x}{a}......(11) \\q = \frac{y}{b}......(12) \\m = \frac{w}{a}......(13) \\n = \frac{h}{b}......(14)\end{eqnarray*}$$
方程组化为
$$\begin{eqnarray*}p^2 + q^2 + m^2 + n^2 = 1......(15) \\p^2m^2 = q^2n^2......(16) \\a^2m^2 + b^2n^2 = r^2......(17) \end{eqnarray*}$$

$(17) \times p^2 + (17) \times q^2$得：

$$a^2m^2p^2 + b^2n^2p^2 + a^2m^2q^2 + b^2n^2q^2 = p^2r^2 + q^2r^2\tag{18}$$ 由(16)$p^2m^2 = q^2n^2$，代入上式(18)，
$$\begin{aligned}a^2n^2q^2 + b^2n^2p^2 + a^2m^2q^2 + b^2m^2p^2 = p^2r^2 + q^2r^2 \\ (a^2q^2 + b^2p^2)(m^2 + n^2) = (p^2 + q^2)r^2\end{aligned}\tag{19}$$ $(15) \times (a^2q^2 + b^2p^2)$，得：
$$\begin{aligned}(a^2q^2 + b^2p^2)(p^2 + q^2 + m^2 + n^2) = (a^2q^2 + b^2p^2) \\ (a^2q^2 + b^2p^2)(p^2 + q^2) + (a^2q^2 + b^2p^2)(m^2 + n^2) = (a^2q^2 + b^2p^2)\end{aligned}$$
联合式(19)，消去$(m^2 + n^2)$项，得：
$$\begin{aligned}(a^2q^2 + b^2p^2)(p^2 + q^2) + (p^2 + q^2)r^2 = (a^2q^2 + b^2p^2) \\ (p^2 + q^2)(a^2q^2 + b^2p^2 + r^2) = (a^2q^2 + b^2p^2 + r^2) - r^2 \\ (p^2 + q^2 - 1)(a^2q^2 + b^2p^2 + r^2) + r^2 = 0 \\ (p^2 + q^2 - 1)(\frac{p^2}{a^2} + \frac{q^2}{b^2} + \frac{r^2}{a^2b^2}) + \frac{r^2}{a^2b^2} = 0\end{aligned}$$
代入
$$\begin{aligned}p = \frac{x}{a} \\ q = \frac{y}{b}\end{aligned}$$
得到最终结果：
$$(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - 1)(\frac{x^2}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} + \frac{r^2}{a^2b^2}) + \frac{r^2}{a^2b^2} = 0$$

结论：椭圆定长弦中点轨迹，其实并不难解，只是它不是一个椭圆曲线，即使解出函数方程，也不容易看出曲线的形状。

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