证明下列级数发散或者收敛：
(1) $\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ...$
(2) $\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ...$

一眼看上去，由于$1/x,1/{x^2}$都会趋向零，所以它们应该是收敛的。真的是这样吗？

结果令人意料的：级数(1)发散，级数(2)收敛。

证明：

(1)

$$\begin{aligned}1+1/2+1/3+1/4+1/5+... \\ =1+(1/2+...+1/{10})+(1/{11}+...+1/{100})+(1/{101}+...+1/{1000})+... \\ >1+1/{10}\cdot 9+1/{100}\cdot 90+1/{1000}\cdot 900+... \\ =1+9/{10}+9/{10}+9/{10}+...\end{aligned}$$

由于前面的可以无穷分组下去，因此就有无数个$9/{10}$累加，因此算式趋于无穷。
我们可以写出很多类似的证明，如维基百科就给出了一个大致相同的证明：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B0%83%E5%92%8C%E7%BA%A7%E6%95%B0

(2)

$$\begin{aligned}1+1/{2^2}+1/{3^2}+1/{4^2}+... \\ =1+(1/{2^2}+...+1/{10^2})+(1/{11^2}+...+1/{100^2})+(1/{101^2}+...+1/{1000^2})+... \\ <1+1/{2^2}\cdot 9+1/{11^2}\cdot 90+1/{101^2}\cdot 900+... \\ <1+1/{2^2}\cdot 9+1/{10^2}\cdot 90+1/{100^2}\cdot 900+... \\ =4.24999...->4.25\end{aligned}$$

由此可见，该式的值决不会超过4.25。

真相

事实上，级数(1)被称为“调和级数”，当项数趋于无穷的时候，它的值也趋于无穷。
$$\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x} -> \infty$$
级数(2)就更加神秘了，我们在证明过程中作了放大处理，事实上，精确地有：
$$\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x^2} = {\pi^2}/{6}$$
数学往往令人意外的，所有平方数的倒数之和竟然和$\pi$有关！

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苏剑林. (Aug. 05, 2009). 《两道无穷级数：自然数及其平方的倒数和 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/56

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        title={两道无穷级数：自然数及其平方的倒数和},
        author={苏剑林},
        year={2009},
        month={Aug},
        url={\url{https://spaces.ac.cn/archives/56}},
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