证明下列级数发散或者收敛：
(1) ∑∞x=11x=1+12+13+14+...
(2) ∑∞x=11x2=1+122+132+142+...

一眼看上去，由于1/x,1/x2都会趋向零，所以它们应该是收敛的。真的是这样吗？

结果令人意料的：级数(1)发散，级数(2)收敛。

证明：

(1)

1+1/2+1/3+1/4+1/5+...=1+(1/2+...+1/10)+(1/11+...+1/100)+(1/101+...+1/1000)+...>1+1/10⋅9+1/100⋅90+1/1000⋅900+...=1+9/10+9/10+9/10+...

由于前面的可以无穷分组下去，因此就有无数个9/10累加，因此算式趋于无穷。
我们可以写出很多类似的证明，如维基百科就给出了一个大致相同的证明：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B0%83%E5%92%8C%E7%BA%A7%E6%95%B0

(2)

1+1/22+1/32+1/42+...=1+(1/22+...+1/102)+(1/112+...+1/1002)+(1/1012+...+1/10002)+...<1+1/22⋅9+1/112⋅90+1/1012⋅900+...<1+1/22⋅9+1/102⋅90+1/1002⋅900+...=4.24999...−>4.25

由此可见，该式的值决不会超过4.25。

真相

事实上，级数(1)被称为“调和级数”，当项数趋于无穷的时候，它的值也趋于无穷。
∞∑x=11x−>∞
级数(2)就更加神秘了，我们在证明过程中作了放大处理，事实上，精确地有：
∞∑x=11x2=π2/6
数学往往令人意外的，所有平方数的倒数之和竟然和π有关！

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苏剑林. (Aug. 05, 2009). 《两道无穷级数：自然数及其平方的倒数和 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/56

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        title={两道无穷级数：自然数及其平方的倒数和},
        author={苏剑林},
        year={2009},
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