两道无穷级数:自然数及其平方的倒数和
By 苏剑林 | 2009-08-05 | 58934位读者 |证明下列级数发散或者收敛:
(1) $\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ...$
(2) $\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ...$
一眼看上去,由于$1/x,1/{x^2}$都会趋向零,所以它们应该是收敛的。真的是这样吗?
结果令人意料的:级数(1)发散,级数(2)收敛。
证明:
(1)
$$\begin{aligned}1+1/2+1/3+1/4+1/5+... \\ =1+(1/2+...+1/{10})+(1/{11}+...+1/{100})+(1/{101}+...+1/{1000})+... \\ >1+1/{10}\cdot 9+1/{100}\cdot 90+1/{1000}\cdot 900+... \\ =1+9/{10}+9/{10}+9/{10}+...\end{aligned}$$
由于前面的可以无穷分组下去,因此就有无数个$9/{10}$累加,因此算式趋于无穷。
我们可以写出很多类似的证明,如维基百科就给出了一个大致相同的证明:http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B0%83%E5%92%8C%E7%BA%A7%E6%95%B0
(2)
$$\begin{aligned}1+1/{2^2}+1/{3^2}+1/{4^2}+... \\ =1+(1/{2^2}+...+1/{10^2})+(1/{11^2}+...+1/{100^2})+(1/{101^2}+...+1/{1000^2})+... \\ <1+1/{2^2}\cdot 9+1/{11^2}\cdot 90+1/{101^2}\cdot 900+... \\ <1+1/{2^2}\cdot 9+1/{10^2}\cdot 90+1/{100^2}\cdot 900+... \\ =4.24999...->4.25\end{aligned}$$
由此可见,该式的值决不会超过4.25。
真相
事实上,级数(1)被称为“调和级数”,当项数趋于无穷的时候,它的值也趋于无穷。
$$\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x} -> \infty$$
级数(2)就更加神秘了,我们在证明过程中作了放大处理,事实上,精确地有:
$$\sum_{x = 1}^\infty \frac{1}{x^2} = {\pi^2}/{6}$$
数学往往令人意外的,所有平方数的倒数之和竟然和$\pi$有关!
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October 16th, 2010
我的看法:
1、调和级数发散,因为其积分发散,不过发散速度极慢,千万别用这种方式给家里的浴缸灌水;
2、那个幂级数收敛,并且极值为圆周率平方的六分之一,这就是欧拉等式。
看了一下答案,还真答对了~~~
不妨用它来设置一个末日预言?相信历史很难打破的这个预言的(时间或许远远大于人类的历史),呵呵。
October 16th, 2010
那个{pi^2/6}是怎么来的呢说下啊啊啊啊
August 4th, 2015
第二个证明收敛可以用
小于1+1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+......而且可以说明小于2。比你那方法好多了
哈,这个得看时间了,这是2009的文章,那时我刚高一,刚接触微积分。这个级数收敛的证明,是模仿调和级数发散的证明来做的~~
膜拜大神,哎,要是我高一也接触微积分好了,鬼知道高等数学比高中数学好玩。