科学空间曾经提到过$e^{i\pi}+1=0$这条被誉为“数学最卓越的公式的公式之一”的公式，而读者们或许很就之前就已经听说过甚至证明过它了。那么，各位读者是否还知道其他的一些关于e,i,π的轶事呢？例如你知道$i^i$等于多少吗？还有$i^{1//i}$呢？

本文就让我们来欣赏一次数学之美！

1719年，意大利业余数学家法格纳诺（1682～1766）得到：
$$e^{\pi//4}=[\frac{1-i}{1+i}]^{i//2}$$
这又是三者联系起来的一条公式！

也许大家都会认为$i^i$是一个虚数，但事实却很让人意外，欧拉从上式得到：它是一个实数，而且也把e,i,π联系了起来：
$$i^i=e^{-\pi//2}$$
由此也有$i ln i=-\frac{\pi}{2}$。当然实际上这是一个多值函数。

和$e^{i\pi}+1=0$一样，这条公式也堪称是完美的结晶！类似的还有
$$i^{1//i}=e^{\pi//2}$$
这条式子很容易就从上一式推导出来。

关于$e^{+- ix}=cos x +- i sin x$的一件有趣的事情是：印度传奇数学家拉马努金在12岁时就独立推出了它。

1975年4月的《科学美国人》上刊登了一个“数学玩笑”：$e^{\pi\sqrt{163}}=262 537 412 640 768 744$，注意这里的右端是一个整数！不过既然都说了这个是国际玩笑，那么事实上它不是一个整数，右端应该等于：
262537412640768743.999999999999250......
据说，也是拉马努金第一个推测出右端“应该”是整数。

还有一条是e和π“同居一室”的无穷级数：
$$1/2 \sqrt{e\pi}=1+\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}+...+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{4}{1+...}}}}}$$

（内容来源于《不可思议的e》）

有一条著名的用来近似求阶乘的斯特灵公式：$n! \approx \sqrt{2\pi n} (\frac{n}{e})^n$，它也将e和π“收入囊中”。

数学上有一个广义积分（高斯积分）：$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx=\sqrt{\pi}$

这些公式和定理们都巧妙而让人意外的将e,i,π联系了起来，让我们叹为观止！

才疏学浅的我难以生动地将数学之美呈现给大家，只能在此略略一提，希望能够起到抛砖引玉的作用^_^。

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苏剑林. (Jul. 25, 2011). 《关于e,i,π的那些鲜为人知的事儿... 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/1434

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        title={关于e,i,π的那些鲜为人知的事儿...},
        author={苏剑林},
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