在《自然极值》系列文章中，我引用了《数学方法论与解题研究》（张雄，李得虎编著）中提到的“平衡态公理”，并用它来解决了一些数学物理问题。平衡态公理讲的是系统的平衡状态总是在势能取极（小）值时取到，简单来讲就是自然界总向势能更低的方向发展，比如“水往低处流”。这在经典力学中本身是没有任何问题的，但在有些时候，我们在应用的时候可能会不自觉地将它想象成为“系统的平衡状态总是在总能量取极（小）值时取到”。然而，这却是不正确的。本文就是要探讨这个问题。

先来看看平衡态公理的来源。从最小作用量原理出发，考虑保守系统，每一个系统都应该对应着一个取极值的作用量S：
$$S=\int_{t_1}^{t_2} L(x,\dot{x})dt$$

其中$L(x,\dot{x})$是拉格朗日函数，一般来说它等于$T-U$，即动能减去势能。由欧拉-拉格朗日方程，S的变分等于0将给出：
$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}})=\frac{\partial L}{\partial x}$$

狭义的平衡态指的就是“不动点”，也就是说此时动能为0了。而势能U一般只是位置的函数，和速度无关，因此平衡时将给出：
$$\frac{\partial U}{\partial x}=0$$

这说明平衡态将是势能取极值的情况。

然而，广义的平衡态不一定是纯粹的不动点，它有可能只是某一自由度的速度为0而已。比如说，在一个匀速绕圆心旋转的圆盘上也存在着自己的不动点，指的是它相对于圆盘没有运动而已。但是从我们看来，它具有一定的动能$\frac{1}{2} m\omega^2 r$，要是我们这时用总能量取极值来处理的话就会出现错误了。正确的做法应该是“动能-势能”取极值。数学语言来讲，就是作用量变成了：
$$S=\int_{t_1}^{t_2} L(x,0)dt$$

给出：
$$\frac{\partial L(x,0)}{\partial x}=0$$

所以平衡状态还是$L(x,0)$取极值，即动能-势能，而不是总能量。在之前的《旋转弹簧伸长问题的变分解法》中，我阴差阳错地犯了两个错误，先给势能多加了一个符号，又用了错误的公式。想不到“负负得正”，得出了正确的答案。现在已经在原文做了修正，望读者包涵。

另外，我继而思考了理论力学的一点问题：在拉格朗日函数中$L=T-U$，T和U都是能量，只不过是形式不同而已，可是为什么它们的地位不平等呢？它们必须一个取原值，一个却要取相反数。可是动能和势能真的如此不平等吗？不是，在转换参考系的情况下，它们可以相互转换呀。还是考虑刚刚那个圆盘问题。我们说平衡点还是具有动能$\frac{1}{2} m\omega^2 r$，可是在圆盘上的人测量，确实测量不到任何动能，他们只能够测量到势能$-\frac{1}{2} m\omega^2 r$，就是我们所说的离心势能。这样的话就没有必要引入“动能-势能”了，一切都可以看作是势能问题。

这又让我联想到，是不是干脆就可以将$L-T-U$，改成$L=-(-T+U)$呢？其中$-T$是一项特殊的势能，反映系统的非惯性运动。这样的物理学又是怎样的呢？

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苏剑林. (Feb. 03, 2013). 《关于“平衡态公理”的更正与思考 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/1902

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        title={关于“平衡态公理”的更正与思考},
        author={苏剑林},
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