角的疑惑——为什么使用弧度？

也许当我们从小学数学进入中学数学的过程中，让我们最郁闷的事情就是课本上把用的好好的角度制改为弧度制了，那个好好的360°的周角无端端变成了一个无理数$2\pi$，为此还多了一堆转换公式，那时这可把我折腾了好一阵子。为什么一个完美的360°不用，反而转向一个无理数$2\pi$？这里边涉及到了相当多的原因，在这些原因中，重新体现了数学体系的一致与简约。当然，文章里的观点只是我自己的看法，仅供大家参考。

弧度制：简约的要求 #

如果读者已经学过了极限理论，那么我就可以直接说，引入弧度制，是为了在这样的一种角的度量体制下，满足：
$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$$

不难证明，只有弧度制才满足这一极限。假如使用角度为单位的话，我们就有
$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=\frac{\pi}{180}$$

这样就显得不简洁了。满足这个极限有什么好处呢？那是为了更进一步的简洁：只有满足这个条件，我们才有：
$$(\sin x)'=\cos x, (\cos x)'=-\sin x$$
这样的简洁式子。也只有当有了这样的简洁公式后，正（余）弦函数才能有更简单的表达形式：
$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...$$

也只有在这样的条件之下，才会有伟大的欧拉公式：
$$e^{i\theta}=\cos\theta + i \sin\theta$$
然后才会有复分析各种伟大的数学成果。

如果使用角度单位，那么
$$(\sin x)'=\frac{\pi}{180}\cos x, (\cos x)'=-\frac{\pi}{180}\sin x$$
会把我们纠结死的。所以最终我们选择了弧度制。

弧度制：统一的描述 #

事实上，使用弧度制，还有另外一个原因：出于我们对角的测量的反思和推广。

我们一般说的角，都是指平面角。其实角就是两条同源射线的张开程度，我们怎么测量这个张开程度的呢？我们先把一个周角分为360份，每一份叫做一度，然后再分细，然后用这个“量角器”来测量它。在小学我们也许就学过1°=60',1'=60''这样的变换规律。这样很容易让我们认为“度”是一个实在的单位，用物理的语言说，就是角度具有量纲。但事实上，角度是没有量纲的，它不像长度、时间那样具有实在的单位。我们所说的度、分、秒是人为给定的，不能反映其物理实在。

其实，测量两条射线的张开程度，不一定需要上面的“量角器”来度量，只需要计算长度之比就行。比如说，在一条射线上任取一点，往另外一条射线作高，构成一个直角三角形，高与斜边之比，也就是$\sin\theta$的值，就代表了这个张开程度的大小。但这种测量方式中，$\sin\theta$是不随$\theta$的匀速变化而匀速变化的（不成线性关系），这样用起来不便。后来，数学家巧妙地构思了一种角度的定义：

以角的交点为圆心，以单位长度为半径作一个单位圆，那么那个角所截的弧的长度就是角的大小。

这就是数学家测量角的方法！也许有的读者会问这样角不是具有长度的单位了？要注意这里是单位圆，这是描述的方便，它实际上是弧长与半径之比，既然是一个比值，自然就没有量纲了！我们中学的时候学过在弧度制下弧长$l=R\theta$，也许还要求我们证明。现在你该明白，这是弧度的定义！中学要求我们去证明实际上是本末倒置了（但是这也无可厚非）。就好比我问你“为什么第一名属于前三名？”一样，因为“不属于前三名就不可能是第一名！”。

这个角的定义很容易让我们将其推广到“立体角”的概念：

从一点引出三条或三条以上的射线，并且以这点为球心作单位球，这些射线在单位球上截出的球面多边形的面积，就是这个立体角的大小。

这样的推广是很显然的，也是很有用的。当然，在这里我们并不进一步展开论述它的作用。不过，我们已经可以发现，从角度到弧度，反映了数学家追求数学整体的和谐和简洁这一事实所在！

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