科学空间|Scientific Spaces

农村的孩子免不了常做家务，当然我家也没有什么特别沉重的家务，通常都是扫地、做饭、洗菜这些简单的活儿。说到洗菜，洗完菜后总喜欢边放水边搅水，然后就在水面上形成一个颇为有趣的漩涡。现在我们从数学物理的角度来分析一下这个漩涡。

在讲洗手盆的漩涡之前，我们先来看一下一个比较类似的、更古老的问题——牛顿的旋转液面问题。牛顿假设有一个水桶（假设为圆柱形吧，但这不重要），水桶在绕自己的中轴线匀角速度旋转，直到桶内的水也随着匀角速度旋转（即水与水桶相对静止），此时水的液面形状是凹的，我们来看看该液面的形状。

牛顿的水桶

要分析形状，我们还要回顾之前提到过的流体静力学平衡：
http://kexue.fm/archives/1964/

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笔者很少会谈到定义性的东西，原因很简单，因为我也不见得会比大家清楚，或者说也未必比大家所知道的准确。不过，刚刚与同好讨论过与质量相关的问题，就跟大家分享一下。

最初的问题是能量能不能转化为物质，我觉得根据$E=mc^2$，是显然可以的，例子嘛，我首先想到在量子场论中的真空是会不断产生和湮灭正负电子对的，因此这可以作为一个证据。但是这个感觉上太遥远了，所以我在互联网搜索了一下，不过搜到的内容大同小异：

当辐射光子能量足够高时，在它从原子核旁边经过时，在核库仑场作用下，辐射光子可能转化成一个正电子和一个负电子，这种过程称作电子对效应。
（正负电子对效应）

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笔录：在假期基本上是没有什么机会接触到英语的，平时看的数学物理书一般都是中文版的，因为现在学得还很浅，很少会有非找英语资料不可的时候。不过英语的重要性不言而喻，因此多练习一下还是必须的。突然想起很久没有翻译过文章了，就到《科学美国人》杂志上找了一篇有关夏季星空的小短文来练练笔。在此献丑了。

这个夏天的星空之夜，观星爱好者可以看到恒星发出彩虹般的色彩。
By Joe Rao and SPACE.com

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一个多月的暑假已经结束了，又回到了学校来。准确地说，昨天已经来到了学校，只是着搞卫生、社团等工作，无暇到blog上写点什么。早晨起来，一时无聊，就随便唠叨几句。

暑假就这样过去了，这也意味着大一完全过去了，我已经成为了师兄。曾不止一次感叹“光阴似箭，日月如梭”，而我越发地体味到这一点。不少人到了大学之后才明白高中生活的美好，而我有点不同，我在高中已经懂得大学并没有我们想象中的完美，所以我对大学和高中都抱有同样的眷恋和期待。大一过去了，从外边看来，我唯一的变化就是瘦了，沧桑了吧。还记得时隔一年的体检，我的体重居然少了十斤，以至于让我不得不怀疑那个秤的准确性；还记得多少次被小孩子喊做“叔叔”，被师兄称作“师兄”......

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在之前的一些文章中，我们已经谈到过欧拉数学。总体上来讲，欧拉数学就是具有创造性的、直觉性的技巧和方法，这些方法能够推导出一些漂亮的结果，而方法本身却并不严密。然而，在很多情况下，严密与直觉只是一步之遥。接下来要介绍的是我上学期《数学分析》期末考的一道试题，而我解答这道题的灵感来源便是“欧拉数学”。

数列${a_n}$是递增的正数列，求证：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)$收敛等价于${a_n}$收敛。

据说参考答案给出的方法是利用数列的柯西收敛准则，我也没有仔细去看，我在探索自己的更富有直觉型的方法。这就是所谓的“I do not understand what I can not create.”。下面是我的思路。

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23、求解拟齐次方程$\frac{dy}{dx}=x+\frac{x^3}{y}$
24、求解拟齐次方程$\ddot{x}=x^5+x^2\dot{x}$

把这两道题目放在一起说是因为我觉得这两道题目本质上是一样的，当然，不管怎样，24题更复杂一些。在24题中，设$\dot{x}=y$，则$\ddot{x}=y\frac{dy}{dx}$，于是原方程就变成：
$$\frac{dy}{dx}=x^2+\frac{x^5}{y}$$
这样就跟23题的形式差不多了。

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在上一篇文章中我们得到了第23题的解，本来想接着类似地求第24题，但是看着23题的答案，又好像发现了一些新的东西，故没有继续写下去。等到今天在课堂上花了一节课研究了一下之后，得到了关于这种拟齐次微分方程的一些新的结果，遂另开一篇新文章，与大家分享。

一、特殊拟齐次微分方程的通解

在上一篇文章中，我们求出了拟齐次微分方程$\frac{dy}{dx}=x+\frac{x^3}{y}$的解：
$$(2y+x^2)(x^2-y)^2=C$$
或者写成这样的形式：
$$(y+\frac{1}{2} x^2)(y-x^2)^2=C$$

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今年的天象中的“重头戏”——C/2012 S1 (ISON)彗星将在月底闪亮登场！

ISON_Comet_captured_by_HST,_April_10-11,_2013

先贴出来自scully.cfa.harvard.edu的数据：

Date TT R. A. (2000) Decl. Delta r Elong. Phase m1 m2
2013 11 24 14 45 42.7 -18 53 56 0.8693 0.3002 17.1 104.3 3.0
2013 11 25 15 01 27.3 -20 05 10 0.8819 0.2551 14.3 107.0 2.5
2013 11 26 15 18 04.6 -21 09 58 0.8998 0.2058 11.4 109.3 1.8
2013 11 27 15 35 58.3 -22 05 30 0.9244 0.1502 8.2 110.4 0.7
2013 11 28 15 56 28.2 -22 43 29 0.9594 0.0826 4.6 106.9 -1.3
2013 11 29 16 23 17.5 -19 52 57 0.9762 0.0322 1.8 107.7 -4.5
2013 11 30 16 21 22.4 -16 20 32 0.9125 0.1145 5.3 127.4 -0.2
2013 12 01 16 19 11.8 -13 59 07 0.8681 0.1757 8.1 128.1 1.2
2013 12 02 16 17 23.9 -11 56 02 0.8309 0.2281 10.6 127.3 2.0
2013 12 03 16 15 54.3 -10 00 54 0.7980 0.2754 13.0 126.1 2.5

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