在之前的一些文章中,我们已经谈到过欧拉数学。总体上来讲,欧拉数学就是具有创造性的、直觉性的技巧和方法,这些方法能够推导出一些漂亮的结果,而方法本身却并不严密。然而,在很多情况下,严密与直觉只是一步之遥。接下来要介绍的是我上学期《数学分析》期末考的一道试题,而我解答这道题的灵感来源便是“欧拉数学”。

数列${a_n}$是递增的正数列,求证:$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)$收敛等价于${a_n}$收敛。

据说参考答案给出的方法是利用数列的柯西收敛准则,我也没有仔细去看,我在探索自己的更富有直觉型的方法。这就是所谓的“I do not understand what I can not create.”。下面是我的思路。

思考 #

判断级数和是否收敛的一个相当有力的方法是积分判别法,我通常会先想到这个。虽然这里没有给出具体的函数,没有办法进行积分,但是还是能够得到一些灵感的。

记$a_n \equiv a(n)$,在$a(n)$平缓变化的情况下,下列近似是相当好的:$a'(x) \sim a(x+1)-a(x)$以及$a(x)\sim a(x+1)$,因此$1-\frac{a(x)}{a(x+1)}\sim \frac{a'(x)}{a(x)}$,根据积分判别法,则有
$$S=\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_n}{a_{n+1}}\right) \sim \int_1^{+\infty} \frac{a'(x)}{a(x)}dx = \ln a(x)\big|_1^{+\infty}$$

值得注意的是,这里每一步都是不严格的,甚至有可能不成立的,但是它从另外一个角度让我们认识到了这个问题,从方法上来讲,每一步又是具有代表性的,比如将差分近似为导数,将求和近似为积分等。最后的结果也隐约跟题目联系了以来,即$a(\infty)$存在的话,这个积分就存在了,级数和也就收敛了。

暂时撇开严谨性不谈,这个思考给我们带来的最重要的东西是:$\ln a(x)$!

充分 #

这即意味着$S_n \sim \ln[a(n)]$。于是我们可以考虑
$$\ln a_{n+1} - \ln a_n = -\ln \frac{a_n}{a_{n+1}} = - \ln \left[1-\left(1-\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)\right]$$
并且有$-\ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...$,因此$-\ln(1-x) > x$,于是可以写出
$$\ln a_{n+1} - \ln a_n > 1-\frac{a_n}{a_{n+1}}$$

利用这条不等式,就可以得到
$$\ln a_{n+1} - \ln a_1 >\sum_{i=1}^{n}(1-\frac{a_i}{a_{i+1}})$$
这样子就证明了${a_n}$收敛就意味着级数和收敛,这就证明了充分性

(在得到结果之前,我们并不知道我们将会证明充分性还是必要性,只有经过分析才会得出,但是不管怎样,只要有这样的一条不等式,我们就可以证明充分性或必要性之一,这就是我们的自信之一。而下面我们只要构建相反的不等式就行)

必要 #

为了证明必要性,我们需要找出一条类似的,但是反号的不等式。从$-\ln(1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...$可以看出,不管截断到哪里,都不会产生反号的不等式。于是我们考虑$-\ln(1-x) < 2x$,这不是总是成立的,但是至少对于$x \in\left[0,\frac{1}{2}\right]$是成立的。而在$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)$收敛的前提下,$1-\frac{a_n}{a_{n+1}}$只有有限项是大于$\frac{1}{2}$的,不然就会有矛盾。于是存在一个$N$,使得$n > N$时都有$1-\frac{a_n}{a_{n+1}} \in \left(0,\frac{1}{2}\right]$,这保证了$-\ln(1-x) < 2x$的适用性。即对于足够大的$n$,有
$$\ln a_{n+1} - \ln a_n < 2\left(1-\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)$$
接着我们就可以写出
$$\ln a_{n+1} - \ln a_{N+1} < 2 \sum_{i=N+1}^{n}\left(1-\frac{a_i}{a_{i+1}}\right)$$
于是后者收敛也意味着前者收敛,这就证明了必要性

总结 #

不论如何,往多个方向多思考总是有好处的。能够想到和参考答案一样的方法是很不错的,但是我们不能局限于某种特定的方法,而是应该以自己为中心,寻找到一套属于自己的思路体系,这才算是create了答案。另外就是关于欧拉数学的,老师不会管你在草稿本上写了什么,因此在演算的时候,尽量地头脑风暴吧,尽可能联想各种方法。正所谓“他山之石,可以攻玉”。值得注意的是,这个过程不仅仅是在考试中,而是一直贯穿在我们的学习之中,这时候,“马后炮”的作用是相当大的!

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苏剑林. (2013, Sep 09). 《[欧拉数学]找出严谨的答案 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/2059