23、求解拟齐次方程dydx=x+x3y
24、求解拟齐次方程¨x=x5+x2˙x

把这两道题目放在一起说是因为我觉得这两道题目本质上是一样的，当然，不管怎样，24题更复杂一些。在24题中，设˙x=y，则¨x=ydydx，于是原方程就变成：
dydx=x2+x5y
这样就跟23题的形式差不多了。

首先我们来解23题。我解微分方程时，一般都会先分析一下有没有y=cxn形式的解，这种解通常来说都是最简单的。代进去可以得到：
cnxn−1=x+1cx3−n
可以发现这样的解确实存在，让n-1=3-n得到n=2，接着就有2c=1+1c，得出c=1或c=−12。这样我们得到了两个特解。

然而，这对我们并没有什么特别帮助。我做到这里之后也中断了好长一段时间，前两天在课堂上重新思考这个问题，得到了一种思路。方程左边是相除的形式，右边是相加的形式，为了进行分离变量，我打算把左边变为相乘的形式，即通过变换变成f(x′)f(y′)的形式，根据右边的特点，可以设一个新变量：
x=tyk
代进去有x+x3y=tyk+t3y3k−1。为了进行同类项合并，让k=3k−1，解得k=12，即可以考虑变换x=t√y。此时dx=√ydt+t2√ydy。原方程就可以变为：
dy√ydt+t2√ydy=(t+t3)√y

要注意，直到现在我们都是在摸索，我也不知道最终能否成功。将它倒过来：
√y×√ydt+t2√ydydy=1t+t3

整理得：
ydtdy=1t+t3−t2,dyy=2t(1+t2)dt2−t2−t4=(1+t2)d(t2)2−t2−t4

至此，我们成功分离了变量，说明我们当初的猜测很成功。而且这个积分不算难，积分的结果是：
Const.+lny=−13ln[(2+t2)(t2−1)2]y3√(2+t2)(t2−1)2=Const.

代入x=t√y，得到
(2y+x2)(x2−y)2=C

这就可以看作是最终答案了。当C=0时，就得到我们先前解出的两个特解。因此，我们已经成功了求解了23题。至于24题，也是类似的，答案是将会在另外一篇文章分析。

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        title={数学基本技艺之23、24（上）},
        author={苏剑林},
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