7 Aug

旋转的弹簧将如何伸长(2)？

By 苏剑林 | 2010-08-07 | 30345位读者 |

弹簧

上一次我从密度的角度讨论了旋转的弹簧伸长的问题，由于对弹性形变等问题是初涉，所以花了好大功夫。这几天重新认识了一下胡克定律，并且从另外的角度给出了这道题目的一个相对简单的解法。在此把它记录下来，并写写我对弹性形变的一些粗浅看法。

在解答的过程中，我再次体验到了殊途同归的感觉，科学就是这样的奇妙，一个目的地往往有着不止一条道路，不同的道路会给我们不同的科学视觉，最终领略到不同的科学美景；多走几条路，更能够让我们从不同的角度领略美不胜收的科学，这也是众多旅游爱好者不辞千里地观赏美景的原因！

——————————华丽的分割线———————————

我们之前把胡克定律写成 $F=k\cdot \Delta l$ ， $\Delta l$ 是弹簧的伸长，这种写法简单而不完美，因为虽说k是常数，但是影响因素太多了，如弹簧长度、厚度等都会影响劲度系数k；而在大学的力学教程中，是这样写胡克定律的：

$\frac{F_n}{S}=E\frac{\Delta l}{l_0}$

$F_n$ 是垂直作用在弹簧横截面的力；S是横截面积；E称为弹性模量(也叫杨氏模量)，这是与材料有关的量，对于拉伸和压缩，E一般不同，但是相差也不大； $\frac{\Delta l}{l_0}$ 称为(正)应变，由于弹簧的整体应变未必相同，所以严格的应变应该写成 $\frac{d(\Delta l)}{dl}$ ，因此，胡克定律应该写成

$\frac{F_n}{S}=E\frac{d(\Delta l)}{dl}\tag{1}$
如果受力是均匀的，那么有：

$\frac{F_n}{S*E}dl=d(\Delta l)$ ，积分便成

$\frac{F_n}{S\cdot E}l_0=\Delta l\Rightarrow F_n=\frac{E\cdot S}{l_0}\Delta l$
对比

$F=k\Delta l$ ，可以得出：

$k=\frac{E*S}{l_0}$ ，这个等式很清晰地说明了k与那些量有关（E、S、l分别代表了弹簧的材料、厚度、长度）。

——————————华丽的分割线———————————

上面的一堆只是BoJone对胡克定律的粗浅看法，下面进入正题，给出另外角度的解决旋转弹簧的伸长问题的方法。

选取弹簧旋转重心为参考点，设原来位于弹簧上坐标为(x,x+dx)、质量为dm的质量元，旋转后坐标为(y,y+dy)，那么伸长量为 $dy-dx$ ，应变为 $\frac{dy-dx}{dx}=\dot{y}-1$ ，根据(1)，有

$F_n=E\cdot S\cdot (\dot{y}-1)=kl_0 (\dot{y}-1)\tag{2}$

$F_n$ 即作用在截面上的惯性离心力，可以得到

$F_n=F_c=\int_y^l y\omega^2 dm$ ，l是旋转后的弹簧的长度，由此并结合(2)式可以给出：

$y=l,dot{y}=1$ 。现在我们把(2)式两端微分，得到

$\begin{aligned}d(F_n)=kl_0 \ddot{y}dx \\ d(F_n)=-y\omega^2 dm=-\lambda_0\omega^2 ydx \\ \ddot{y}=-\frac{\lambda_0\omega^2}{kl_0}y\end{aligned}\tag{3}$
这就是一个二阶线性齐次微分方程，为了得出形式相对简单的解，我们不采取求通解的方法，而是与之前处理过的问题一样，令

$\ddot{y}=\dot{y}\frac{d\dot{y}}{dy}$ ，代入(3)，分离变量并积分，可以得到

$\dot{y}^2=-\frac{\lambda_0\omega^2}{kl_0}y^2+C_1$
根据初始条件

$y=l,dot{y}=1$ ，可以得到

$C_1=\frac{\lambda_0\omega^2}{kl_0}l^2+1$ 。代入上式，继续分离变量，得到

$dx=\frac{dy}{\sqrt{\frac{\lambda_0\omega^2}{kl_0}l^2+1-\frac{\lambda_0\omega^2}{kl_0}y^2}}$
积分可以得到

$x=\frac{1}{\omega}\sqrt{\frac{kl_0}{\lambda_0}}arcsin(\frac{\omega\sqrt{\frac{\lambda_0}{kl_0}}y}{\sqrt{\frac{\lambda_0 \omega^2}{kl_0}l^2+1}})\tag{4}$ （积分常数为0，因为初始条件是y=0,x=0）

(4)便是我们所希望的结果，我们希望求出l的值，那么可以把 $x=l_0,y=l$ 代入(4)，并且利用变换关系 $arcsin(a/b)=arctg\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}$ 变成

$l_0=\frac{1}{\omega}\sqrt{\frac{kl_0}{\lambda_0}}arctg(\omega\sqrt{\frac{\lambda_0}{kl_0}}l)$

即 $l=l_0*\frac{1}{\omega}\sqrt{k/{\lambda_0 l_0}}tg(\omega\sqrt{{\lambda_0 l_0}/k})=l_0*\frac{1}{\omega}\sqrt{k/M}tg(\omega\sqrt{M/k})$

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分类：物理化学标签：旋转, 弹性, 形变 2 评论

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zzm

August 7th, 2010

这就是张笃一的方法
他说这只是静态解，实际是不会出现这种情况的。我问他什么静态解，他没回，你知道吗？

回复评论

苏剑林发表于 August 7th, 2010

假想情况下的，这道题目其实就是考一下我们的分析能力而已，就是在理想情况下这种情况也不大可能出现。
这个方法的出现的确受到了张笃一的影响，然而整个过程是以不同的方式论述的（尽管求解时大同小异），我相信我的论述能够更好地体现出胡克定律。

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苏剑林|BoJone，科学空间博主，【数学、天文、理论物理、写作、阅读、计算机、中国象棋、厨房】爱好者（但不专业）......目前32岁，还在单调递增。希望能一直在此分享科学之美～

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