昨天在浏览网页的时候，发现了一道有趣的方程：
$$x^{x^{x^{\dots}}}=2$$
各位读者先别急着往下看，不妨自己求解一下？

其实说来也简单，$x^{x^{x^{\dots}}}=2$括号里面的数也就是2，于是原方程变为$x^2 =2$，从而$x=\sqrt{2}$。

简单不？^_^不过等等，还没有完呢！现在请你解这道方程：$x^{x^{x^{\dots}}}=4$
好，马上按着原来的方法去做，你会发现同样有：$x=\sqrt{2}$。
这就“丈二的和尚——摸不着头脑”了，究竟$\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\dots}}}$是等于2还是等于4？

其实这个数应该是等于2的。用一个很不严谨的方法来看一看：在为了求出这个数的上界（这个词貌似用的不太合适），$\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\dots}}}} \leq \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\dots^2}}}=2$，于是$\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\dots}}}$不可能大于2的。

看来一旦涉及到了无穷，什么诡异的事情都有可能发生了。连这样基本的方法都能产生出“增根”哎…

另外读者不妨用上面的方法尝试求一下$2^{2^{2^{\dots}}}$：令$2^{2^{2^{\dots}}}=k$，则$2^k =k$，这道方程居然无解！！！——慢着，其实有一个解：$k\to\infty$，也就是说$2^{2^{2^{...}}}$发散。

那么收敛的条件是什么呢？由上面的方法不难得出：当$x=\sqrt[n]{n}$时$f(x)$可以取到确定的值（但不一定等于n）这也就是收敛的条件。$\sqrt[n]{n}$在n=2时取到最大值。于是$x^{x^{x^{\dots}}}$收敛的范围是$x \in [0,\sqrt{2}]$

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苏剑林. (Feb. 06, 2010). 《直上云霄的无穷指数方程 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/407

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        title={直上云霄的无穷指数方程},
        author={苏剑林},
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