【理解黎曼几何】7. 高斯-博内公式
By 苏剑林 | 2016-10-21 | 39151位读者 | 引用令人兴奋的是,我们导出黎曼曲率的途径,还能够让我们一瞥高斯-博内公式( Gauss–Bonnet formula)的风采,真正体验一番研究内蕴几何的味道。
高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典的公式,它建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系。而我们从一条几何的路径出发,结合一些矩阵变换和数学分析的内容,逐步导出了测地线、协变导数、曲率张量,现在可以还可以得到经典的高斯-博内公式,可见我们在这条路上已经走得足够远了。虽然过程不尽善尽美,然而并没有脱离这个系列的核心:几何直观。本文的目的,正是分享黎曼几何的一种直观思路,既然是思路,以思想交流为主,不以严格证明为目的。因此,对于大家来说,这个系列权当黎曼几何的补充材料吧。
形式改写
首先,我们可以将式$(48)$重写为更有几何意义的形式。从
百科翻译:草原上的狐狸(Swift Fox)
By 苏剑林 | 2009-07-07 | 37262位读者 | 引用科学空间:一种有趣的平方数
By 苏剑林 | 2009-07-08 | 21198位读者 | 引用数字是美丽的、极具魅力的,正如——
有这样的一种数,将其拆开成为两个数,这两个数的和的平方等于原数。例如:
$$\begin{aligned}2025=&(20+25)^2\\88209=&(88+209)^2\\152344237969=&(152344+237969)^2\\ &...\end{aligned}$$
下面是关于这类数的一些研究:
1、这类数的实质是:$(A+B)^2=10^nA+B$,而对于$(A+B)^2=kA+B$,有
$A=k/2-B\pm\sqrt{{k^2}/{4}-(k-1)B}$
因此,一般地,对于一个适合的B,可以找到两个对应的A。
【个人翻译】变暖的地球对冷血动物来说过热?
By 苏剑林 | 2009-07-08 | 33240位读者 | 引用增强typecho的搜索功能
By 苏剑林 | 2018-01-09 | 68854位读者 | 引用科学空间是使用typecho程序搭建的博客,侧边栏提供了搜索功能,然而typecho内置搜索功能仅仅是基于字符串的全匹配查找,因此导致很多合理的查询都没法得到结果,比如“2018天象”、“新词算法”都没法给出结果,原因就是文章中都不包含这些字符串。
于是就萌生了加强搜索功能的想法,之前也有读者建议过这个事情。这两天搜索了一下,本来计划用Python下的Whoosh库来建立一个全文检索引擎,但感觉整合和后期维护的工作量太大,还是放弃了。后来想到在typecho自身的搜索上加强,在公司同事(大佬)的帮助下,完成了这个改进。
由于是直接修改typecho源文件实现的改进,因此如果typecho升级后就可能被覆盖,因此在这里做个备忘。
探索
通过在Github检索我发现,typecho的搜索功能是在var/Widget/Archive.php
中实现的,具体代码大概在1185~1192行:
关于无理数及其和的证明
By 苏剑林 | 2009-07-31 | 23709位读者 | 引用在中学,有理数的定义为整数和分数的集合,统一来说就是能够写成两个整数之比的数。那相对地,无理数自然就是不能写成两个整数之比的数了,也就是无限不循环小数,比如$\pi,\sqrt{2}$等等。历史上无理数的发现带来了第一次数学危机,并生下了一颗“金蛋”,不过发现者却因此丢掉了生命。让我们永远铭记——希帕索斯(Hippasus)。
历史:
http://baike.baidu.com/view/1167.htm#2
在这里对无理数就不多说些什么了,主要是谈谈相关的证明而已。
先说明,以下是我自己的证明方法,当然我相信有一种方法是通用的,但是我没有找出来。
广东珠海之旅(图片)
By 苏剑林 | 2009-08-11 | 17417位读者 | 引用精确自由落体运动定律的讨论(二)
By 苏剑林 | 2010-01-09 | 55982位读者 | 引用之前在这篇文章中,我们使用过一个牛顿引力场中的自由落体公式:
$t=\sqrt{\frac{r_0}{2GM}}{r_0 \cdot arctg \sqrt{\frac{r_0 -r}{r}}+\sqrt{r(r_0 -r)}}$——(1)
我们来尝试一下推导出这个公式来。同时,站长在逐渐深入研究的过程中,发现微分方程极其重要。以前一些我认为不可能解决的问题,都用微分方程逐渐解决了。在以后的文章里,我们将会继续体验到微分方程的伟大魔力!因此,建议各位有志研究物理学的朋友,一定要掌握微分方程,更加深入的,需要用到偏微分方程!
首先,质量为m的物理在距离地心r处的引力为$\frac{GMm}{r^2}$,根据牛顿第二定律F=ma,自然下落的物体所获得的加速度为$\frac{GM}{r^2}$。假设物体从距离地心r开始向地心自由下落,求位移s关于t的函数s=s(t).
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