21 Jul

思考:两个椭圆片能粘合成一个立体吗?

前两周又在群里看到一个颇为有趣的问题:两个同样大小的椭圆片可以沿着它们的长轴弯曲,沿着边缘线粘贴,能完美地贴合成一个封闭立体吗?问题来源于知乎《两个椭圆片可否以柱面弯曲边缘完美贴合?》

两个椭圆片粘合图示(截取自知乎上提问的图示)

两个椭圆片粘合图示(截取自知乎上提问的图示)

问题可以用只言片语表达清楚,甚至普通读者都能理解,而问题本身是有一定难度的,这就符合了一个漂亮的问题的条件,所以也就吸引了笔者陆陆续续思考了好多天,最终在昨天算是给出了这类问题通用的列方程思路和数值求解方案,而今天则完成了理论证明,确认两个相同椭圆片总是可以完美贴合

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1 Oct

几个有关集合势的“简单”证明

我们这学期开设《实变函数》的课程,实变函数的第一章是集合。关于无穷集合的势,有很多异于直觉的结论。这些结论的证明技巧,正是集合论的核心方法。然而,我发现虽然很多结论跟我们的直觉相违背,但是仔细回想,它又没我们想象中那样“离谱”。而我们目前使用的教科书《实变函数论与泛函分析》(曹广福),却没有使用看来简单的证明,反而用一些相对复杂的定理,给人故弄玄虚的感觉。

一、全体实数不能跟全体正整数一一对应

这是集合论中的基本结论之一。证明很简单,如果全体实数可以跟全体正整数一一对应,那么$(0,1)$上的实数就可以跟全体正整数一一对应,把$(0,1)$上的全体实数表示为没有0做循环节的无限小数(比如0.1表示为0.0999...),那么设一种对应为:
$$\begin{aligned}&a_1=0.a_{11} a_{12} a_{13} a_{14}\dots\\
&a_2=0.a_{21} a_{22} a_{23} a_{24}\dots\\
&a_3=0.a_{31} a_{32} a_{33} a_{34}\dots\\
&\dots\dots
\end{aligned}$$

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6 Jul

齐次多项式不等式的机器证明(差分代换)

在高中阶段,笔者也像很多学生一样参加过数学竞赛,而在准备数学竞赛的过程中,也做过一些竞赛题,其中当然少不了不等式题目。当时,面对各种各样的不等式证明题,我总是非常茫然,因为看到答案之后,总感觉证明的构造非常神奇,但是每当我自己独立去做时,却总想不出来。于是后来就萌生了“有没有办法可以通用地证明这些不等式?”的想法。为了实现这个目的,当时就想出了本文的技巧——通过牺牲计算的简便性来换取证明的有效性。后来,我虽然没有走上数学竞赛这条路,但这个方法还是保留了下来,近日,在和数学研发论坛的朋友们讨论不等式问题时,重新拾起了这个技巧。

此前,在本博客的文章《对称多项式不等式的“物理证明”》中,已经谈到了这个技巧,只是限制于当时的知识储备,了解并不深入。而在本文中,则进行拓展了。这个技巧在当时是我自己在证明中独立发现的,而现在在网上查找时发现,前辈们(杨路、姚勇、杨学枝等)早已研究过这个技巧,称之为“差分代换”,并且已经探究过它在机器证明中的作用。该技巧可以很一般化地用于齐次/非其次不等式的证明,限于篇幅,本文只谈齐次多项式不等式,特别地,是对称齐次多项式不等式,并且发现某些可以简化之处。

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17 Oct

关于e是无理数的证明

在数学中,我们把极限
$$\lim_{x->\infty}(1+1/x)^x$$

记为e,并且可以计算出e=2.7182818284590452353602...,这是一个与π同等重要的数(甚至有些书认为它比π更重要)。和π一样,这个数也是一个“无理数”。现在我们来证明一下

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20 Sep

正十七边形的尺规作图存在之证明

在网上查找到的,好像有三个不同的版本,全部摘录在此。

关于正17边形的尺规作图方法,请看:
http://kexue.fm/article.asp?id=104

本文章只是证明它的存在(就是求出$\cos ({2\pi}/{17})$)。

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20 Sep

一道从小学到高中都可能考到的题目

这是一道很多时候都会考到的题目:
比较$n^{n+1}$与$(n+1)^n$的大小(其中n非负)。

在小学我们会使用直接计算;
在初中我们会从一些例子找规律;
在高中我们就会直接去证明了。

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24 Aug

几何-算术均值不等式的一般证明

本证明是站长经过很长时间独立研究得出,望转载者要注明原作者和出处,否则定追究版权责任! (公式很多,推荐使用火狐浏览器)

关于这个不等式由来已久,从$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$开始,人们逐渐地发现,只要$a_1,a_2,...,a_n \geq 0$,那么就一定会有$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2...a_n}$。对于比较小的n,人们已经可以证明上式成立,但是,一般形式的证明则是近年来的事情。

我自己很早就接触到了这个不等式(好像是3年前,我读六年级),从那个时候开始,我就一直寻找这个不等式的证明,但是除了n=2的情况外,其余一直未果。直到三个月前的一节数学课,在发愣之余就想出来了(^_^)。一开始证明了n=3的情况,然后就势如破竹,证明了对于任何的n,这条不等式都成立。

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24 Aug

关于a,b的极限证明题目

证明下列极限:
$$\lim_{x \to 0}(\frac{a^x+b^x}{2})^{3/x}=ab\sqrt{ab}$$

解:
这是我认为比较难的极限题目之一,由麦克劳林公式可以推出:
$$a^x=1+x ln a+\frac{x^2 ln^2 a}{2!}+\frac{x^3 ln^3 a}{3!}+...$$

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