数字是美丽的、极具魅力的，正如——
有这样的一种数，将其拆开成为两个数，这两个数的和的平方等于原数。例如：
$$\begin{aligned}2025=&(20+25)^2\\88209=&(88+209)^2\\152344237969=&(152344+237969)^2\\ &...\end{aligned}$$

下面是关于这类数的一些研究：

1、这类数的实质是：$(A+B)^2=10^nA+B$，而对于$(A+B)^2=kA+B$，有
$A=k/2-B\pm\sqrt{{k^2}/{4}-(k-1)B}$
因此，一般地，对于一个适合的B，可以找到两个对应的A。

2、对于$(A+B)^2=10^{2n}A+B$的情况，A,B可以为
$B={10^{2n}}/4,A={10^{2n}}/4\pm{10^n}/2$

3、一般性解法：

对于$(A+B)^2=10^nA+B$，有$(A+B)(A+B-1)=(10^n-1)A$。对此，我们知道，要找出两个相邻的自然数之积为$(10^n-1)$的倍数。设想令$10^n-1=X\cdot Y,A=M\cdot N$，并且使$M\cdot X=N\cdot Y+-1$。

$X,Y$可以由$10^n-1$来预先确定，通过找到适合的N来确定M。于是，在$M\cdot X=N\cdot Y+1$中，A=MN，A+B=NY+1；

在$M\cdot X=N\cdot Y-1$中，$A=MN，A+B=NY$。在此过程中，会用到剩余定理、因式分解等。

例如：

3.1 寻找两位数的A、B，
即$(A+B)(A+B-1)=99A$。
令$99=9\cdot 11$（不能分成$3\cdot 33,1\cdot 99$，想想为什么？）。在$M\cdot X=N\cdot Y-1$的形式中，

我们有$(11N-1)\mod 9=0$

于是N为5+9p的形式的数，取N=5，得到M=6，A=30，B=25。同时对于B=25，另一个A为20。即
$$\begin{aligned}(30+25)^2=&3025\\
(20+25)^2=&2025\end{aligned}$$

3.2 寻找六位数的A、B，
即$(A+B)(A+B-1)=(10^6-1)A$
由于$10^6-1=3^3\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 37$，我们可以令$10^6-1=143\cdot 6993$（不唯一）。在$M\cdot X=N\cdot Y-1$的形式中，

我们有$(6993N-1)\mod 143=0$

可以求出N为51+143p形式的数，取N=51，则M=2494，A=127194，B=229449。同时对于B=229449，另一个A为413908。即
$$\begin{aligned}(127194+229449)^2=&127194229449\\
(413908+229449)^2=&413908229449\end{aligned}$$

到了这里，问题已基本上求解完成了，沿着这个思路，我们可以找到更多的这样的平方数。而且一般地，这种平方数的个数是无穷的。

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苏剑林. (Jul. 08, 2009). 《科学空间：一种有趣的平方数 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/7

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        title={科学空间：一种有趣的平方数},
        author={苏剑林},
        year={2009},
        month={Jul},
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