精确自由落体运动定律的讨论(二)

之前在这篇文章中，我们使用过一个牛顿引力场中的自由落体公式：
$t=\sqrt{\frac{r_0}{2GM}}{r_0 \cdot arctg \sqrt{\frac{r_0 -r}{r}}+\sqrt{r(r_0 -r)}}$——（1）

我们来尝试一下推导出这个公式来。同时，站长在逐渐深入研究的过程中，发现微分方程极其重要。以前一些我认为不可能解决的问题，都用微分方程逐渐解决了。在以后的文章里，我们将会继续体验到微分方程的伟大魔力！因此，建议各位有志研究物理学的朋友，一定要掌握微分方程，更加深入的，需要用到偏微分方程！

首先，质量为m的物理在距离地心r处的引力为$\frac{GMm}{r^2}$，根据牛顿第二定律F=ma，自然下落的物体所获得的加速度为$\frac{GM}{r^2}$。假设物体从距离地心r开始向地心自由下落，求位移s关于t的函数s=s(t).

根据根据加速度的定义，我们有：$\frac{d^2 s}{dx^2}=a=\frac{GM}{r^2}$，于是问题实质就是解常微分方程$s''=\frac{GM}{(r-s)^2}$。

接着我们令$s'=v$，则$s''=v(\frac{dv}{ds})$，代入上式：
$GM(r-s)^{-2} ds=vdv$，两端积分：
$$\begin{aligned}\int vdv = \int GM(r - s)^{ - 2} ds = - \int GM( r - s)^{ - 2}d(r - s) \\ \frac{1}{2} v^2 = GM[(r - s)^{ - 1} + C_1]\end{aligned}$$

根据实际情况，当t=0时，v=s=0，推出$C_1=-r^{-1}$，即
$$\begin{aligned}\frac{1}{2}v^2 = GM[(r - s)^{ - 1} - r^{ - 1}] \\ \frac{ds}{dt} = v = \sqrt {\frac{2GM}{r}} \sqrt {\frac{s}{r - s}} \end{aligned}$$
两端积分：
$$\int dt = \sqrt {\frac{r}{2GM}} \int (\sqrt {\frac{r - s}{s}} )ds =2\sqrt {\frac{r}{2GM}} \int (\sqrt {r - s} )d(s^{0.5}) $$

令$s^{0.5}=P$，则$2\int (\sqrt {r - s} )d(s^{0.5}) =2\int (\sqrt {r - p^2} )dp$
根据积分公式：$\int \sqrt{a^2-x^2} dx ={a^2}/2 arcsin \frac{x}{a} +x/2 \sqrt{a^2-x^2}+C$，得出
$$2\int (\sqrt {r - p^2} )dp=r\cdot arcsin \frac{p}{\sqrt{r}}+p \sqrt{r-p^2}+C$$
换回s，有：
$$2\int (\sqrt {r - s} )d(s^{0.5}) =r\cdot arcsin \sqrt{\frac{s}{r}}+\sqrt{s(r-s)}+C$$
则：
$$t=\sqrt{\frac{r}{2GM}}[r\cdot arcsin\sqrt{\frac{s}{r}}+\sqrt{s(r-s)}+C]$$
当s=0时，t=0，则C=0，得出：
$$t=\sqrt{\frac{r}{2GM}}[r\cdot arcsin\sqrt{\frac{s}{r}}+\sqrt{s(r-s)}]$$
而根据反三角函数公式：$arcsin \frac{a}{b}=arctg\sqrt{\frac{a^2}{b^2-a^2}}$，即得
$t=\sqrt{\frac{r}{2GM}}[r*arctg\sqrt{\frac{s}{r-s}}+\sqrt{s(r-s)}]$————（2）

不难看出，（1）（2）两式是等价的

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