在中学，有理数的定义为整数和分数的集合，统一来说就是能够写成两个整数之比的数。那相对地，无理数自然就是不能写成两个整数之比的数了，也就是无限不循环小数，比如π,√2等等。历史上无理数的发现带来了第一次数学危机，并生下了一颗“金蛋”，不过发现者却因此丢掉了生命。让我们永远铭记——希帕索斯(Hippasus)。

历史：

http://baike.baidu.com/view/1167.htm#2

在这里对无理数就不多说些什么了，主要是谈谈相关的证明而已。
先说明，以下是我自己的证明方法，当然我相信有一种方法是通用的，但是我没有找出来。

1. √2是无理数。

证：我们假设√2是有理数，并且令√2=p/q，p/q是最简分数。由于√2不是整数，所以q>1。

我们将两边平方，得到2=p2/q2，因为p/q是最简分数，所以p2/q2也是最简分数。2的最简分数只能够是2/1，由此得出q=1，这与q>1矛盾。所以假设不成立，√2是无理数。

2. √2+√3是无理数。

证：这个简单了，相信大家都会。

我们假设√2+√3=p是有理数，两边平方得到5+2√6=p2⇒√6=p2−5/2，于是√6是有理数，矛盾。因此假设不成立。

3. √2+√3+√5是无理数。

证：这个可不怎么简单了，我可是想了好久。

(1) 我们假设√2+√3+√5=p是有理数，两边平方得到
10+2√6+2√10+2√15=p2⇒√6+√10+√15=p2−10/2，
于是√6+√10+√15是有理数。两边再次平方，得：
31+10√6+6√10+4√15=(p2−10)2/4，
于是5√6+3√10+2√15=(p2−10)2/4−31/2
由于√6+√10+√15是有理数，所以
3√6+√10=(p2−10)2/4−31/2−2(√6+√10+√15)
的左边是一个有理数，但由方法2可证明3√6+√10为无理数，矛盾，于是假设不成立。
(2) 同样假设√2+√3+√5=p是有理数，我们将式子变成
√2+√3=p−√5，两边平方：
(√2+√3)2=(p−√5)2⇒5+2√6=p2+5−2p√5
于是得出√6+p√5是有理数，也是矛盾的。

4. √2+√3+√5+√7是无理数。

证：在报纸上画了一整天，终于有头绪了。

同样假设√2+√3+√5+√7=p是有理数，我们将式子变成
√2+√3+√5=p−√7，两边平方得到：
10+2√6+2√10+2√15=p2+7−2p√7
⇒√6+√10+√15+p√7=(p2−3)/2是一个有理数。
两边继续平方：
(√6+√10+√15)2=((p2−3)/2−p√7)2⇒31+10√6+6√10+4√15=((p2−3)/2)2+7p2−p(p2−3)√7⇒2√10+4√6+p(p2−7)√7=((p2−3)/2)2+7p2−4(√6+√10+√15+p√7)
由于√6+√10+√15+p√7=(p2−3)/2是有理数，所以2√10+4√6+p(p2−7)√7是有理数，矛盾。

以上是关于平方根和的证明，证明比较粗糙、繁琐，不过原理极其容易理解的。方法范围有限，最多支持到4个平方根和，通用的方法正在寻找中......

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苏剑林. (Jul. 31, 2009). 《关于无理数及其和的证明 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/44

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        title={关于无理数及其和的证明},
        author={苏剑林},
        year={2009},
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