三角函数幂的积分

昨天在研究一个最优化问题时，遇到了一个这样的积分：

$$\int \frac{1}{\cos^3 \theta} d\theta$$

然后就顺便研究了一下这种类型的函数的积分。一般来讲，这类积分可以写成$\int cos^n \theta d\theta$或$\int sin^n \theta d\theta$，其中n是一个整数。

首先我们来解决n=1的情况，我们很容易就有$\int cos\theta d\theta=sin\theta +C$或$\int sin\theta d\theta=-cos\theta +C$，这是一个基本的结果。

如果n是大于1的正整数，那么可以用递推的方法来搞定：

$$\begin{aligned}\int \cos^n \theta d\theta=\int \cos^{n-1} \theta d(\sin\theta)=\cos^{n-1} \theta \sin\theta-\int \sin\theta d(\cos^{n-1}\theta) \\ =\cos^{n-1} \theta \sin\theta+(n-1)\int \sin^2\theta \cos^{n-2}\theta d\theta \\ =\cos^{n-1} \theta \sin\theta+(n-1)\int (1-\cos^2\theta) \cos^{n-2}\theta d\theta \\ =\cos^{n-1} \theta \sin\theta+(n-1)\int \cos^{n-2}\theta d\theta-(n-1)\int \cos^n\theta d\theta\end{aligned}$$
（这里运用了分部积分法）

即$n\int cos^n \theta d\theta=cos^{n-1} \theta sin\theta+(n-1)\int cos^{n-2}\theta d\theta$

$$\int \cos^n \theta d\theta=\frac{1}{n}[\cos^{n-1} \theta \sin\theta+(n-1)\int \cos^{n-2}\theta d\theta]$$
这样就完成了递推。关于正弦也有类似公式，这里直接写出：
$$\int \sin^n \theta d\theta=\frac{1}{n}[-\sin^{n-1} \theta \cos\theta+(n-1)\int \sin^{n-2}\theta d\theta]$$

不过，我昨晚想到将其变为多项式积分来算：

$$\int \cos^n \theta d\theta=\int \cos^{n-1} \theta d(\sin\theta)$$
如果令$sin\theta=x$，则积分成了
$$\int (1-x^2)^{\frac{n-1}{2}} dx$$

要是n是奇数（正或负都行）的话，这个积分是相当好办的。要是它是偶数或其它有理数的话，就需要用到超几何函数（Hypergeometric Function）来表达。这里只对n是奇数进行讨论。

当n是正数时，直接多项式展开进行积分，不再讨论。当n是负数时，相当于讨论积分

$$\int \frac{1}{(1-x^2)^k} dx$$
其中k是正整数。当k=1时，有
$$\int \frac{1}{1-x^2} dx=\frac{1}{2} ln|\frac{1+x}{1-x}|$$

当k > 1时，我们即$\int \frac{1}{(1-x^2)^k} dx=I_k$，有

$$\begin{aligned}I_k=\int \frac{1-x^2+x^2}{(1-x^2)^k} dx=I_{k-1}+\int \frac{x^2}{(1-x^2)^k} dx \\ =I_{k-1}-\frac{1}{2}\int \frac{x}{(1-x^2)^k} d(1-x^2) \\ =I_{k-1}+\frac{1}{2(k-1)}\int x d[(1-x^2)^{1-k}] \\ =I_{k-1}+\frac{1}{2(k-1)}[x (1-x^2)^{1-k}-\int (1-x^2)^{1-k}dx] \\ =(\frac{2k-3}{2k-2})I_{k-1}+\frac{x}{2(k-1)(1-x^2)^{k-1}}\end{aligned}$$
递归完毕。

这里直接写出我可能用到的结果：

$$\int \frac{1}{\cos^3 \theta} d\theta=\frac{1}{4}(\frac{2\sin \theta}{\cos^2 \theta}+ln|\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}|)$$
$\int \frac{1}{sin^3 \theta} d\theta=-\frac{1}{4}(\frac{2cos \theta}{sin^2 \theta}+ln|\frac{1+cos \theta}{1-cos \theta}|)$

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