当概率遇上复变:随机游走基本公式
By 苏剑林 | 2014-04-30 | 57420位读者 | 引用[问题解答]运煤车的最大路程(更正)
By 苏剑林 | 2014-05-04 | 38477位读者 | 引用从费马大定理谈起(八):艾森斯坦整数
By 苏剑林 | 2014-08-30 | 39151位读者 | 引用是时候向n=3进军了,为了证明这个情况,我们需要一个新的数环:艾森斯坦整数(Eisenstein Integer)。艾森斯坦是德国著名数学家,同时代的高斯曾经评价:“只有三个划时代的数学家:阿基米德,牛顿和艾森斯坦。”足见艾森斯坦的成就斐然。事实上,阅读费马大定理的研究史,同时也是在阅读数学名人录——没有超高的数学,几乎不可能在费马大定理中有所建树。
基本定义
跟高斯整数一样,艾森斯坦整数也是复整数的一种,其中,高斯整数是以1和$i$为基,$i$其实是一个四次单位根,也就是$x^4-1=0$的一个非实数根,因此高斯整数也叫做四次分圆整数;而艾森斯坦整数以1和$\omega$为基,$\omega$是三次单位根,也就是$x^3-1=0$的一个非实数根。任意一个艾森斯坦整数都可以记为$a+b\omega,\,a,b\in\mathbb{Z}$,艾森斯坦整数环记为$\mathbb{Z}[\omega]$,也称为三次分圆整数环。
班门弄斧:Python的代码能有多简洁?
By 苏剑林 | 2014-10-07 | 27084位读者 | 引用实数集到无理数集的双射
By 苏剑林 | 2014-09-22 | 34400位读者 | 引用集合论的结果告诉我们,全体实数的集合$\mathbb{R}$跟全体无理数的集合$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$是等势的,那么,如何构造出它们俩之间的一个双射出来呢?这是一个颇考读者想象力的问题。当然,如果把答案给出来,又似乎显得没有那么神秘。下面给出笔者构造的一个例子,读者可以从中看到这种映射是怎么构造的。
为了构造这样的双射,一个很自然的想法是,让全体有理数和部分无理数在它们自身内相互映射,剩下的无理数则恒等映射。构造这样的一个双射首先得找出一个函数,它的值只会是无理数。要找到这样的函数并不难,比如我们知道:
1、方程$x^4 + 1 = y^2$没有除$x=0,y=\pm 1$外的有理点,否则将与费马大定理$n=4$时的结果矛盾。
2、无理数的平方根依然是无理数。
根据这些信息,足以构造一个正实数$\mathbb{R}^+$到正无理数$\mathbb{R}^+ \backslash \mathbb{Q}^+$的双射,然后稍微修改一下,就可以得到$\mathbb{R}$到$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$的双射。
集合上的一个等价关系决定了几何的一个划分,反之亦然,这直观上是不难理解的。但是,如果我要问一个有$n$个元素的有限集合,共有多少种不同的划分呢?以前感觉这也是一个很简单的问题,就没去细想,但前天抽象代数老师提到这是一个有相当难度的题目,于是研究了一下,发现里面大有文章。这里把我的研究过程简单分享一下,读者可以从中看到如何“从零到有”的过程。
以下假设有$n$个元素的有限集合为$\{1,2,\dots,n\}$,记它的划分数为$B(n)$。
前期:暴力计算
$n=3$的情况不难列出:
$$\begin{aligned}&\{\{1,2,3\}\},\{\{1,2\},\{3\}\},\{\{1,3\},\{2\}\},\\
&\{\{2,3\},\{1\}\},\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\end{aligned}$$
两百万素数之和与“电脑病”
By 苏剑林 | 2014-10-17 | 14750位读者 | 引用原则上来讲,同样的算法,如果分别在Python和C++上实现,那么Python的速度肯定比不上C++的。但是Python还被称为“胶水语言”,它允许我们把主要计算的部分用C或C++等高效的语言编写好,然后它作为“粘合剂”把两者粘合在一起。正因为如此,Python才有了各种各样的扩展库,这些库中有不少是用C语言编写的。因此,我们在编写Python程序的时候,如果可以用这些现成的库,速度会快很多。本文就是用Numpy来改进之前的《两百万前素数之和与前两百万素数之和》的计算。
算法本身是没有变的,只是用了Numpy来处理数组计算,代码如下:
算符的艺术:差分、微分与伯努利数
By 苏剑林 | 2014-10-27 | 35951位读者 | 引用两年前,笔者曾写过《算子与线性常微分方程》两篇,简单介绍了把线形常微分方程算符化,然后通过对算符求逆的方法求得常微分方程的通解。而在这篇文章中,笔者打算介绍关于算符类似的内容:差分算符、微分算符以及与之相关的伯努利数(Bernoulli数)。
我们记$D=\frac{d}{dx}$,那么$Df=\frac{df}{dx}$,同时定义$\Delta_t f(x)=f(x+t)-f(x)$,并且记$\Delta \equiv \Delta_1 =f(x+1)-f(x)$,这里我们研究的$f(x)$,都是具有良好性态的。我们知道,$f(x+t)$在$t=0$附近的泰勒展式为
$$\begin{aligned}f(x+t)&=f(x) + \frac{df(x)}{dx}t + \frac{1}{2!}\frac{d^2 f(x)}{dx^2}t^2 + \frac{1}{3!}\frac{d^3 f(x)}{dx^3}t^3 + \dots\\
&=\left(1+t\frac{d}{dx}+\frac{1}{2!}t^2\frac{d^2}{dx^2}+\dots\right)f(x)\\
&=\left(1+tD+\frac{1}{2!}t^2 D^2+\dots\right)f(x)\end{aligned}$$
最近评论