笔者发现,有很多概率问题,尤其是独立重复实验问题,如果用生成函数的方法来做,会显得特别方便。本文要讲的“随机游走”问题便是其中一例,它又被形象地叫做“醉汉问题”,其本质上是一个二项分布,但是由于取了极限,出现了很多新的性质和应用。我们先考虑如下问题:

考虑实数轴上的一个粒子,在t=0时刻它位于原点,每过一秒,它要不向前移动一格(+1),要不就向后移动一格(-1),问n秒后它所处位置的概率分布。


不难发现,这个问题跟二项分布是雷同的。如果把这个粒子形象比喻成一个“喝醉酒的人”,那么上面的走法就类似于一个完全不省人事的醉汉走路问题了。(当然,醉汉是在三维空间走路的,这里简单起见,只描述了一维的。)这是一个独立重复实验,每秒的行走可用函数描述为12(z+z1),于是n秒后的运动分布情况可以用
12n(z+z1)n
来描述,zi(i=n,n+1,,n1,n)的系数表示粒子位于i的概率。

随机游走(维纳过程)
下面我们考虑一个更细致的随机行走问题,它导出了我们关于“随机游走”的基本结果。

考虑实数轴上的一个粒子,在t=0时刻它位于原点,每过Δt秒,它要不向前移动Δs格(+Δs),要不就向后移动Δs格(Δs),考虑Δt,Δs0,问t秒后它所处位置的概率分布。

类似上面的做法,我们得到生成函数
12t/Δt(zΔs+zΔs)t/Δt
由于Δt,Δs0,我们用eiω代替z,得到用傅里叶变换描述的生成函数:
12t/Δt(eiωΔs+ziωΔs)t/Δt
使用欧拉公式化简得
cost/Δt(ωΔs)(1ω2Δs22)t/Δt
为了得到意义明显的结果,取Δs2=αΔt,Δt0,得到
exp(ω2αt2)
根据我们的推导过程,这就是随机游走问题概率分布的傅里叶变换结果。也就是说,假如1秒后,粒子位于[x,x+dx]处的概率是P(x)dx,那么就有
exp(ω2αt2)=+P(x)eiωxdx

通过傅里叶变换的逆变换,得到
P(x)=12παtexp(x22αt)
这就是随机游走的概率分布,结果表明粒子的位置服从正态分布。上面的结果可以不费力地推广到高维。

随机游走(英语:Random Walk,缩写为 RW),是一种数学统计模型,它是一连串的轨迹所组成,其中每一次都是随机的。它能用来表示不规则的变动形式,如同一个人酒后乱步,所形成的随机过程记录。1905年,由卡尔·皮尔逊首次提出。随机游走是很多物理现象的数学基础,比如,在生产一个产品的时候,如果每个步骤的误差大概是一样的,那么最终的误差就是随机游走问题。类似的还有布朗运动、扩散定律等等,甚至量子力学的薛定谔方程在某种意义上也是一种随机游走。不过,由于ΔtΔs2,它居然是无穷大的速度!这背后的内涵还让笔者在困惑之中,但我们很快会继续回到这个话题上的。

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        title={当概率遇上复变:随机游走基本公式},
        author={苏剑林},
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