12 Nov

特殊的通项公式:二次非线性递推

斐波那契数列的特殊通项公式

对数学或编程感兴趣的读者,相信都已经很熟悉斐波那契数列了

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

它是由
$$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,\quad a_0=0,a_1=1$$
递推所得。读者或许已经见过它的通项公式
$$a_{n}=\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \left[\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{n} - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]$$
这里假设我们没有如此高的智商可以求出这个复杂的表达式出来,但是我们通过研究数列发现,这个数列越来越大时,相邻两项趋于一个常数,这个常数也就是(假设我们只发现了后面的数值,并没有前面的根式)
$$\beta=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}=1.61803398\dots$$

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30 Oct

只有两个四阶群和六阶群

我们上近世代数课的时候,老师谈到在同构意义之下只有两个不同的四阶群,六阶群也是只有两个,还说到这是代数的研究生入学考试题目。说到这样了,我就饶有兴致地研究了一下,发现只有两个互不同构的四阶群这几乎是显然的,感觉这题用来做研究生考试题太水了吧?接着分析了一下六阶的情况,发现复杂了不少(元素增加)。而今天在实变函数课的时候,想到了一个简化的技巧,遂也证明了只有两个互不同构的六阶群。把结果和研究过程贴在这里,与大家分享。

两个四阶群

不管是四阶群还是六阶群,它们都是有限群。有限群的一个特点就是,可以把它们的乘法表写出来(只要不怕麻烦~~)。既然要研究四阶群的数目,我们只需要列出四阶群的乘法表就行了。设四阶群为$G_4=\{e, a, b, c\}$,其中$e$是单位元,根据这些信息,我们至少可以写出乘法表的一部分:
$$\begin{array}{c|cccc}
\cdot & e & a & b & c \\
\hline
e & e &a &b &c \\
a & a & & & \\
b & b & & & \\
c & c & & & \end{array}$$

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22 Sep

实数集到无理数集的双射

集合论的结果告诉我们,全体实数的集合$\mathbb{R}$跟全体无理数的集合$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$是等势的,那么,如何构造出它们俩之间的一个双射出来呢?这是一个颇考读者想象力的问题。当然,如果把答案给出来,又似乎显得没有那么神秘。下面给出笔者构造的一个例子,读者可以从中看到这种映射是怎么构造的。

为了构造这样的双射,一个很自然的想法是,让全体有理数和部分无理数在它们自身内相互映射,剩下的无理数则恒等映射。构造这样的一个双射首先得找出一个函数,它的值只会是无理数。要找到这样的函数并不难,比如我们知道:

1、方程$x^4 + 1 = y^2$没有除$x=0,y=\pm 1$外的有理点,否则将与费马大定理$n=4$时的结果矛盾。

2、无理数的平方根依然是无理数。

根据这些信息,足以构造一个正实数$\mathbb{R}^+$到正无理数$\mathbb{R}^+ \backslash \mathbb{Q}^+$的双射,然后稍微修改一下,就可以得到$\mathbb{R}$到$\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$的双射。

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19 Sep

Cantor-Bernstein 定理(给出双射!)

学过集合论的朋友应该会知道,按照定义,判断两个集合的“势”相同的最直接的方法就是给出这两个集合之间的一个双射。然而,这样的双射往往不容易想到,比如

请给出一个$[0,+\infty)$到$(0,+\infty)$的双射

但是,直观地看,这两个集合的势一定是相当的,而且这两个集合之间的双射有无穷多个。然而,大多数的我们却很难想出一个双射来。当我们看到构造出来的双射时,第一反应往往是:这样的证明是怎么想到的!?比如,上述问题的答案之一是:

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