火星轨迹模拟

火星轨迹模拟

由于地球自西向东自转和公转,所以地球上所看到的绝大多数星体都是东升西落的,所以我们把星体在天空中自东向西的运动称为“顺行”,自西向东被称为“逆行”。由于地球和行星的共同运动,地外外行星在“冲”的前后一段时间内会出现“逆行”的现象(地内行星则相反)。而逆行与顺行之间的那一天(应该说那一时刻),就被称为“留”。也就是说,行星“留”过后,行星在天空中的运动方向由顺行变为逆行,或者由逆行变为顺行。

下面是引用维基百科关于行星的顺逆行现象的说明:

从地球上观察,行星在天空中运行的路径会周期性的改变运动的方向。虽然所有的恒星和行星,在回应地球自转的基础下,看起来每夜都是由东向西运行的,但是在外侧的行星都常都会相对于恒星缓缓的由西向东移动。这种运动是行星的正常运动,因此被认为是顺行。但是,因为地球的轨道周期短于外侧行星的轨道周期,因此会周期性的超越外侧的行星,就像一辆速度较快的车在多条车道的高速公路上一样。当发生这种情况时,原本向东运行的行星会先停下,然后后退像栋运行,然后当地球在轨道上超越行星之后,看起来又恢复正常由西向东的运动。内侧的水星和金星也会在相同的机制下呈现逆行的运动,然而它们的退行周期也和太阳的会合周期结合在一起。解释视退行运动的机制是和外行星一样的,小行星和古柏带天体(包括冥王星)都有展现出视退行运动。

行星相对运动示意图

行星相对运动示意图

那么,行星每一次逆行要多久的时间呢?我们不妨来考虑一个最简单的模型:行星在同一轨道平面内做圆周运动。选择行星冲日的时间为原点,那么我们可以列出以地球为参照物的行星运动方程:
$$\begin{aligned}y=R_2 \sin(\omega_2 t)-R_1 \sin(\omega_1 t) \\ x=R_2 \cos(\omega_2 t)-R_1 \cos(\omega_1 t)\end{aligned}$$

$R,\omega=\frac{2\pi}{T}$分别是轨道半径和角速度(1是地球,2是地外行星)。很显然,行星的顺行和逆行取决于$\dot{\lambda}=\frac{d\lambda}{dt}$的正负(正顺逆负),“留”就是$\dot{\lambda}$等于0的情况。在以地球为原点的坐标系中:
$$\tan\lambda=\frac{R_2 \sin(\omega_2 t)-R_1 \sin(\omega_1 t)}{R_2 \cos(\omega_2 t)-R_1 \cos(\omega_1 t)}$$

对两边求导数
$$\begin{aligned}\frac{\dot{\lambda}}{cos^2 \lambda}=\Bigg\{\Big[R_2 \omega_2 cos(\omega_2 t)-R_1 \omega_1 cos(\omega_1 t)\Big]\Big[R_2 cos(\omega_2 t)-R_1 cos(\omega_1 t)\Big]\\
+\Big[R_2 \omega_2 \sin(\omega_2 t)-R_1 \omega_1 \sin(\omega_1 t)\Big]\Big[R_2 \sin(\omega_2 t)-R_1 \sin(\omega_1 t)\Big]\Bigg\}\\
\div \Bigg[R_2 \cos(\omega_2 t)-R_1 \cos(\omega_1 t)\Bigg]^2\end{aligned}$$

令分子为0,则有
$$\omega_1 R_1^2+\omega_2 R_2^2-(\omega_1+\omega_2)R_1 R_2 \cos(\omega_1 t-\omega_2 t)=0$$

于是行星逆行的时间
$$t_0=\frac{\arccos\left(\frac{\omega_1 R_1^2+\omega_2 R_2^2}{(\omega_1+\omega_2)R_1 R_2}\right)}{\omega_1-\omega_2}$$

这仅仅计算了“冲”之后的逆行时间,在冲之前,应该有一段相反而相等的过程,所以,行星逆行的时间为:
$$t=\frac{2\arccos\left(\frac{\omega_1 R_1^2+\omega_2 R_2^2}{(\omega_1+\omega_2)R_1 R_2}\right)}{\omega_1-\omega_2}$$

对于地内行星,虽然它们在下合的时候运行的速度比地球快,但是在地球上看,它们的运动方向仍然是是“顺时针”的,所以也就意味着此时是逆行。完全也可以用上述公式!

转载到请包括本文地址:https://spaces.ac.cn/archives/608

如果您还有什么疑惑或建议,欢迎在下方评论区继续讨论。

如果您觉得本文还不错,欢迎分享/打赏本文。打赏并非要从中获得收益,而是希望知道科学空间获得了多少读者的真心关注。当然,如果你无视它,也不会影响你的阅读。再次表示欢迎和感谢!