现在我们来关注黎曼曲率。总的来说,黎曼曲率提供了一种方案,让身处空间内部的人也能计算自身所处空间的弯曲程度。俗话说,“不识庐山真面目,只缘身在此山中”,还有“当局者迷,旁观者清”,等等,因此,能够身处空间之中而发现空间中的弯曲与否,是一件很了不起的事情,就好像我们已经超越了我们现有的空间,到了更高维的空间去“居高临下”那样。真可谓“心有多远,路就有多远,世界就有多远”。

如果站在更高维空间的角度看,就容易发现空间的弯曲。比如弯曲空间中有一条测地线,从更高维的空间看,它就是一条曲线,可以计算曲率等,但是在原来的空间看,它就是直的,测地线就是直线概念的一般化,因此不可能通过这种途径发现空间的弯曲性,必须有一些迂回的途径。可能一下子不容易想到,但是各种途径都殊途同归后,就感觉它是显然的了。

怎么更好地导出黎曼曲率来,使得它能够明显地反映出弯曲空间跟平直空间的本质区别呢?为此笔者思考了很长时间,看了不少参考书(《引力与时空》、《场论》、《引力论》等),比较了几种导出黎曼曲率的方式,简要叙述如下。

求导顺序不能乱了 #

一般的张量分析或者黎曼几何教材中,导出黎曼曲率的方式是考虑二阶协变导数顺序的差别:
Aμ;α;βAμ;β;α=RμναβAν


由此可以分离出黎曼曲率张量Rμναβ来,这确实是一种爽快的途径,但它的几何意义并不明显,很难看出它是怎么反映空间是曲还是直的。而且我们现在还没有定义二阶协变导数(一次协变导数后有两个指标,即相当于一个矩阵而不是向量了,定义高阶协变导数需要细节上的跟进),而这个定义基本上是纯粹代数演算,目前对我们来说意义不大,因此我们这里不作定义,读者直接参考教材即可,所以我们也不对这种方案多作讨论。

在弯曲空间邂逅 #

此外,还有通过测地线偏离(在广义相对论中对应于潮汐力)来导出黎曼曲率的,那也算是一种几何意义和物理意义都很明确的方案,但是涉及到的计算比较繁琐。主要思路是:考虑测地线方程
d2xμds2+Γμαβ(x)dxαdsdxβds=0


假设有另一条测地线x(s)+δx(s),那么它满足方程
d2(xμ+δxμ)ds2+Γμαβ(x+δx)d(xα+δxα)dsd(xβ+δxβ)ds=0

假设δxdδx/ds都是无穷小量,两式作差,得到
d2δxμds2+Γμαβxνδxνdxαdsdxβds+2Γμαβdδxαdsdxβds=0

其中δx就被称为测地线偏离,在黎曼几何中,称之为“雅可比向量场”。上述形式已经足够简单,然而,我们倾向于写成协变导数的形式,因为协变导数才是在弯曲空间中合理的导数,前面我们已经定义了沿测地线的导数DAμDs,重复一次,我们就能够得到沿测地线的二阶导数D2AμDs2=DDs(DAμDs),这是容易办到的,但因为我们这里不是特别关心这种方案,因此就不写出D2AμDs2的具体形式了,读者可以自己推导。经过计算后,就会发现
D2δxμDs2=Rμναβδxαdxνdsdxβds

这就出现了曲率张量Rμναβ。从数学来看,非零的Rμναβ实际上表明了测地线分布的不均匀,这就是弯曲空间的体现之一。

这种方案让笔者想起了几米的漫画作品《向左走·向右走》,说的是男女主角一个习惯向左走,一个习惯向右走,于是他们两个看起来永远不会相遇。但有一天他们在圆形喷水池相遇了——在圆的一端背向行走,最终在圆的另一端相遇了。而在弯曲空间中,比如在球面上,即便两条平行线也有相交的机会。这其实表明,“弯曲”其实更为深刻和有趣,它给予了我们世界更多的可能性。

“溜达”回来的变化 #

最后还有一种分析向量沿着闭合曲线平移后的变化的方案,我们在这里详细分析它。事实上它跟测地线偏离是等价的,只是它的几何意义更加明显,有助于导出更为深刻的结果。它表明,如果一个向量“溜达”一圈回来之后,它就不一定是原来的向量了。下图的例子就清晰表明了这一点。

平行移动

平行移动

假设xμ处有任意一个向量Aμ,从xμ出发,先平移无穷小量dxμ,再平移无穷小量δxμ,然后再平移无穷小量dxμ,最后平移无穷小量δxμ,也就是沿着一个无穷小的平行四边形走了一圈,回到原点:
xμxμ+dxμxμ+dxμ+δxμxμ+δxμxμ


平行移动

平行移动

我们逐步计算平移过程中Aμ的变化,从xμxμ+dxμAμ变为
AμΓμαβ(x)Aαdxβ


接着从xμ+dxμxμ+dxμ+δxμAμ变为
AμΓμαβ(x)AαdxβΓμνγ(x+dx)[AνΓναβ(x)Aαdxβ]δxγ=AμΓμαβ(x)AαdxβΓμνγ(x)AνδxγΓμνγ(x)xβAνdxβδxγ+Γμνγ(x)Γναβ(x)Aαdxβδxγ

这里我们只精确到二阶项。

类似地,如果考虑路径xμxμ+δxμxμ+dxμ+δxμ所带来的变化,则只需要将dxδx交换
AμΓμαβ(x)AαδxβΓμνγ(x)AνdxγΓμνγ(x)xβAνδxβdxγ+Γμνγ(x)Γναβ(x)Aαδxβdxγ


那么很自然地,路径xμ+dxμ+δxμxμ+δxμxμ所造成的变化就是上式的相反数。于是,整条闭合路径xμxμ+dxμxμ+dxμ+δxμxμ+δxμxμ所带来的变化就是两式之差。调整一下求和指标,然后作差,不难得到
ΔAμ=(ΓμαγxβΓμαβxγ+ΓμνβΓναγΓμνγΓναβ)Aαdxβδxγ=RμαβγAαdxβδxγ

这里
Rμαβγ=ΓμαγxβΓμαβxγ+ΓμνβΓναγΓμνγΓναβ

就是黎曼曲率张量的定义式了,它有4个指标,是一个非常“宏伟”的量。

一句话来说 #

三种不同的黎曼曲率张量的导出方式,分别从三个角度表明了弯曲空间与平直空间的区别:平直空间中,协变导数的次序是可以交换的,弯曲空间则不是;平直空间中,测地线分布的均匀的、线性的,弯曲空间则不是;平直空间中,一个向量去“溜达”一圈回来之后,并没有变化,而弯曲空间中,向量去“溜达”完之后,可能就不是原来的向量了。

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苏剑林. (Oct. 18, 2016). 《【理解黎曼几何】5. 黎曼曲率 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/4014

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        title={【理解黎曼几何】5. 黎曼曲率},
        author={苏剑林},
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