从费马大定理谈起（八）：艾森斯坦整数

是时候向n=3进军了，为了证明这个情况，我们需要一个新的数环：艾森斯坦整数（Eisenstein Integer）。艾森斯坦是德国著名数学家，同时代的高斯曾经评价：“只有三个划时代的数学家：阿基米德，牛顿和艾森斯坦。”足见艾森斯坦的成就斐然。事实上，阅读费马大定理的研究史，同时也是在阅读数学名人录——没有超高的数学，几乎不可能在费马大定理中有所建树。

基本定义 #

跟高斯整数一样，艾森斯坦整数也是复整数的一种，其中，高斯整数是以1和$i$为基，$i$其实是一个四次单位根，也就是$x^4-1=0$的一个非实数根，因此高斯整数也叫做四次分圆整数；而艾森斯坦整数以1和$\omega$为基，$\omega$是三次单位根，也就是$x^3-1=0$的一个非实数根。任意一个艾森斯坦整数都可以记为$a+b\omega,\,a,b\in\mathbb{Z}$，艾森斯坦整数环记为$\mathbb{Z}[\omega]$，也称为三次分圆整数环。

也许读者会想用虚数单位$i$写出$\omega$的具体形式来，或许还在纠结用哪个单位根（有两个不同的复的三次单位根），但这是不必要的，因为我们现在只考虑$a+b\omega$型的数，因此我们根本就不需要$i$的存在，我们只需要记住$\omega^2+\omega+1=0$，就可以把$\mathbb{Z}[\omega]$中的运算确立下来了，比如
$$\begin{aligned}(a+b\omega)(c+d\omega)&=ac+(bc+ad)\omega+bd\omega^2\\ &=ac+(bc+ad)\omega+bd(-\omega-1)\\ &=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega \end{aligned}$$

特别地，我们把$a+b\omega^2$叫做$a+b\omega$的共轭，根据这个定义，$a+b\omega^2$的共轭就是$a+b\omega$（为什么？请读者脱离虚数单位$i$，只在$\mathbb{Z}[\omega]$中去证明它。接下来是范数的定义：
$$N(a+b\omega)=(a+b\omega)(a+b\omega^2)=a^2-ab+b^2$$
为什么要这样定义？首先，范数必然是一个实数，其次，范数得满足$N(\xi\eta)=N(\xi)N(\eta)$，也就是积性的。从$(a+b\omega)(a+b\omega^2)$的结构可以看出，这是把$a+b\omega$中的$\omega$遍历所有非实数单位根之后相乘，这样的结果必然是一个实数。为什么？我们将$a^3+b^3$在复数内分解，首先得求解方程$a^3+b^3=0$，得到$a=-b\omega^k,\,k=0,1,2$，这样一来根据因式分解定理$a^3+b^3=(a+b)(a+b\omega)(a+b\omega^2)$，所以$(a+b\omega)(a+b\omega^2)$是实数。另外从定义可以看出，这样的函数必然是积性的。

艾森斯坦整数有六个单位数（$N(\xi)=1$）：$\pm 1,\pm\omega,\pm\omega^2$，要注意，由于$\omega^2+\omega+1=0$，单位数有很多不同的表达式，比如$1+\omega$和$1+\omega^2$都是单位数。

整除的概念也和高斯整数以及实整数类似的，在此不赘述。两个艾森斯坦整数如果只相差一个单位数因子，那么这两个艾森斯坦整数互为伴随数。有了整除的概念，也可以类似地定义公约数和最大公约数，因此也有了互质的概念。这些都是可以一一对应过来的。最后是艾森斯坦素数的定义，这是跟高斯素数类似的。如果在$\mathbb{Z}[\omega]$中，$\xi=\lambda\eta$必有$N(\lambda)=1$或者$N(\eta)=1$（但不能同时等于1），那么就称$\xi$为艾森斯坦素数。

唯一分解定理 #

跟高斯整数一样，艾森斯坦整数最重要的特性，大概就是它满足唯一分解定理！为了证明这一点，只需要证明它是一个欧几里得整环！读者可以参考《从费马大定理谈起（四）：唯一分解整环》。而为了证明它是一个欧几里得环，只需要证明对于任意艾森斯坦数$a'+b'\omega,\,a',b'\in \mathbb{R}$，总存在艾森斯坦整数$a+b\omega$，使得
$$N(a'+b'\omega-a-b\omega) < 1$$
这很容易成立，只需要将$a'$和$b'$下取整（注意是下取整，不是四舍五入），因为对于任意小于1的非负数$x,y$，都有$x^2-xy+y^2 < 1$。该条件的成立，就表明它是欧几里得整环（这是等价定义），余下的证明，参考高斯整数的证明即可。

同余性质 #

在$\mathbb{Z}[\omega]$中，2是范数最小的艾森斯坦素数，但艾森斯坦整数是三次单位数，我们考虑范数是3的素数$1-\omega$的基本同余性质，这是因为该素数的同余跟三次方关系比较密切（请看下面的1、2）。下面的性质只列举，不证明，有兴趣证明的朋友，请参考《从费马大定理谈起（三）：高斯整数》。

1、$1+2\omega$、$1-\omega^2$等都是$1-\omega$的伴随；$(1-\omega)^2=-3\omega,(1-\omega)^4=9\omega^2$。

2、$1-\omega|a+b\omega$，当且仅当$3|a+b$，其中$a,b\in\mathbb{Z}$。

3、如果$1-\omega\nmid a+b\omega$，那么$(a+b\omega)^3\equiv \pm 1(\bmod\,9)$。

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