两年前,笔者曾写过《算子与线性常微分方程》两篇,简单介绍了把线形常微分方程算符化,然后通过对算符求逆的方法求得常微分方程的通解。而在这篇文章中,笔者打算介绍关于算符类似的内容:差分算符、微分算符以及与之相关的伯努利数(Bernoulli数)。

我们记D=ddx,那么Df=dfdx,同时定义Δtf(x)=f(x+t)f(x),并且记ΔΔ1=f(x+1)f(x),这里我们研究的f(x),都是具有良好性态的。我们知道,f(x+t)t=0附近的泰勒展式为
f(x+t)=f(x)+df(x)dxt+12!d2f(x)dx2t2+13!d3f(x)dx3t3+=(1+tddx+12!t2d2dx2+)f(x)=(1+tD+12!t2D2+)f(x)


如果我们不在意D是一个算符,直接把它当成一个数,那么括号里的“函数”就是指数函数的展开式!于是
f(x+t)=exp(tD)f(x)

这样子我们就把泰勒展式用一个简洁的式子表示了出来,后面我们看到,这个式子意味深长。读者可能会问exp(tD)怎么计算?那么我们来反思对于普通的实数xex是怎么计算的?当然如果x=2,那么只需要把两个e相乘。当时e又是怎么算的呢?事实上,可以认为ex就是用它的级数来定义的(这一定义应该是最方便的),同理,对于算符的指数函数exp(tD),就是用它的级数展开式来计算的(形式级数),也就是说exp(tD)不过是1+tD+12!t2D2+的一个记号。然而,算符的运算跟数字的运算有很多类似的地方,算符的特殊性在于它的非交换性,但很多性质还是没有变化的。而且这里对于D来说,t是一个常数,因此Dt存在可交换性,因此符号exp(tD)的性质几乎跟实函数ex一样了。

注意到,根据(1),我们就有
Δtf(x)=f(x+t)f(x)=[exp(tD)1]f(x)


只看算符部分,就有
Δt=exp(tD)1

这就是差分和微分的联系(离散跟连续的关系),多么简洁深刻!特别地,我们有
Δ=exp(D)1

(2)式不仅有形式上的意义,更有实用价值。我们知道,求导的逆运算就是积分,算积分未必容易,但是我们已经积累了很多关于积分的知识了。但是对于一般的g(x),如果想要求f(x)使得Δf=g,却没有一般的方法,比如g(x)=(x+1)m,那么求解Δf=g就相当于求解f(n)=1+2m++nm了,这是数列求和的应用。

根据Δf=g,我们有
f=Δ1g


问题是Δ1是什么?此时(3)式子就发挥作用了。根据(3)式,我们有
Δ1=1exp(D)1

右端的式子我们还不知道是什么?利用泰勒级数展开计算即可!事实上,我们有
Δ1=1exp(D)1=1D(Dexp(D)1)=1Dn=0Bnn!Dn=D112+112D1720D3+130240D5

这样子就将求解差分方程的问题变成了无穷级数的问题了。其中Bn就是第n个伯努利数,xex1正是伯努利数的母函数。

对于g(x)=(x+1)m,求导总在某一项后变为0,因此该级数是有限的。比如m=2,我们求得
{D1g(x)=13(x+1)3+Cg(x)=(x+1)2Dg(x)=2(x+1)D3g(x)=0


因此
f(x)=13(x+1)3+C12(x+1)2+16(x+1)=C+x33+x22+x6

代入x=0便求得C=0

更多内容可以参考维基百科:
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/伯努利数

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苏剑林. (Oct. 27, 2014). 《算符的艺术:差分、微分与伯努利数 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/3018

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        title={算符的艺术:差分、微分与伯努利数},
        author={苏剑林},
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