从“0.999...等于1”说开来

从小学到大学都可能被问到的但却又不容易很好地回答的问题中，“0.999...究竟等不等于1”肯定也算是相当经典的一个。然而，要清楚地回答这个问题并不容易，很多时候被提问者都会不自觉地弄晕，甚至有些“民科”还以这个问题“创造了新数学”。

本文试图就这个问题，给出比较通俗但比较严谨的回答。

什么是相等？ #

要回答0.999...等不等于1，首先得定义“相等”！什么才算相等？难道真的要写出来一模一样才叫相等吗？如果是这样的话，那么2-1都不等于1了，因为2-1跟1看起来都不一样啊。

显然我们需要给“相等”做出比较严格但是又让人公认的定义，才能对相等进行判断，显然，下面的定义是能够让很多人接受的：

$a = b$等切仅当$|a-b|=0$。

基于这个定义，我们要来算算$1-0.999...\stackrel{?}{=}0$。要回答这个还没有那么容易，还要定义什么是0！还是之前的问题：什么才是0？难道真的要写出来一模一样才是0吗？

这时候就来到数学分析的基础了——0就是比任何正数都小的非负数。

没错，整个严密的数学分析的基础之一就是0的定义：0就是比任何正数都小的非负数。读者不妨回想一下，所谓的极限理论，不都是这句话的变形吗？当然，这句话可以有另外的表述形式，但是本质上来说就是这个意思。（当然，还有实数的完备性等内容，我们并没有明显地强调出来，而是默认地接受了它们。）

好，现在有了0的定义了，我们就可以算$1-0.999...$了，显然，它肯定比我们任意给出的正数要小，所以它只能为0，所以$1=0.999...$

测度、范数、同构 #

上面我们已经定义了两个数的相等为两个数的差的绝对值为0，由此衍生了一系列相等的定义，比如，两个$\mathbb{R}$上的函数$f(t)$和$g(t)$，定义为

$f(t)=g(t)$当且仅当$|f(t)-g(t)|=0\,(\forall t\in \mathbb{R})$。

然而，这个定义通常来说过于严密了。一方面，这个条件很难满足，尤其是在各种物理现象中，几乎找不到每一点都相等的两个函数；另一方面，很多时候比这个条件要弱的情况都已经“够用了”。因此，适当地放宽相等的定义，从而诞生了各个不同的学科，如实变函数与泛函分析。

考虑下面两个函数：
$$\begin{aligned}
&f(t)=e^t,\,t\in [0,\infty)\\
&g(t)=\left\{
\begin{aligned}
&e^t,\,t\in(0,\infty)\\
&0,\,t=0
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}$$
显然，$f(t)$和$g(t)$仅仅在$t=0$处不同，其余地方完全一样。那么这两个函数在使用中有什么区别呢？如果在物理中，用的比较多的是积分运算（因为物理中很多求解微分方程，求解微分方程就涉及到积分），显然，这两个函数在同一个区间的积分结果是一样的——仅仅一点不同不影响积分结果。在这种意义下，我们认为$f(t)$与$g(t)$是相等的，当然，在实变函数中，它有个更准确的名词，叫做“几乎处处相等”。实变函数中主要内容之一就是研究几乎处处相等的东西，而所谓几乎处处相等，就是说如果两个函数有差别的部分“面积”（准确来说是测度）为0，那么就认为两者相等（从物理的角度来看，因为这么小的差别基本上不会影响物理结果。）

到了实变函数，相等的概念放得更弱了。在实变函数中，可以自定义“距离”（范数），这种距离甚至可以没有几何意义，完全是抽象的。它可以是欧几里得距离，也可以是积分，也可以是极限等。而两个“东西”相等，只需要所定义的“距离”为0。

而在代数中，我们出现了“同构”的概念，这是个比相等更为广泛的概念。同构告诉我们，同构的东西具有类似的（代数）性质，因此只需要研究其中一个就行了。而在这种意义之下，它本质上也是的相等的概念，因为它实际上就是说：揭开表面的那层皮，其内在都是一样的。当然，同构并非代数中独有的概念，在分析中也有，如等距同构。

回到原点 #

从小学问题扯到泛函分析、代数去了，也真够远的。把这个话题扯开来，主要是想让有兴趣的读者知道，之所以会产生“0.999...等不等于1”的疑问，主要是对“相等”没有给出比较清晰的定义，或者对定义理解不足所致。定义好了“相等”这一概念，也就可以清晰地回答这个问题了。否则，在此问题过多纠结，而没有找到症结所在，有损我们的数学学习进程。

顺便可以看到，其实数学分析、实变函数甚至泛函分析，都在不断地重新诠释着相等的意义。

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