12
Sep
微积分学习（二）：导数
By 苏剑林 | 2009-09-12 | 20002位读者 | 引用自从上次写了关于微积分中的极限学习后，就很长的时间没有与大家探讨微积分的学习了（估计有20多天了吧）。启事，我自己也是从今年的9月下旬才开始系统地学习微积分的，到现在也就一个月的时间吧。学习的内容有：集合、函数、极限、导数、微分、积分。不过都是一元微积分，多元的微积分正在紧张地进修中......
现在不妨和大家探讨一下关于微积分中的最基本内容——“导数”的学习。
其实，用最简单的说法，如果存在函数$f(x)$，那么它的导数（一阶导数）为
$$\lim_{\Delta x->0} f'(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
20
Sep
一道从小学到高中都可能考到的题目
By 苏剑林 | 2009-09-20 | 35101位读者 | 引用
9
Jan
精确自由落体运动定律的讨论(二)
By 苏剑林 | 2010-01-09 | 54307位读者 | 引用
之前在这篇文章中，我们使用过一个牛顿引力场中的自由落体公式：
$t=\sqrt{\frac{r_0}{2GM}}{r_0 \cdot arctg \sqrt{\frac{r_0 -r}{r}}+\sqrt{r(r_0 -r)}}$——（1）
我们来尝试一下推导出这个公式来。同时，站长在逐渐深入研究的过程中，发现微分方程极其重要。以前一些我认为不可能解决的问题，都用微分方程逐渐解决了。在以后的文章里，我们将会继续体验到微分方程的伟大魔力！因此，建议各位有志研究物理学的朋友，一定要掌握微分方程，更加深入的，需要用到偏微分方程！
首先，质量为m的物理在距离地心r处的引力为$\frac{GMm}{r^2}$，根据牛顿第二定律F=ma，自然下落的物体所获得的加速度为$\frac{GM}{r^2}$。假设物体从距离地心r开始向地心自由下落，求位移s关于t的函数s=s(t).
20
Mar
《方程与宇宙》:二体问题的来来去去(一)
By 苏剑林 | 2010-03-20 | 92836位读者 | 引用
二体问题的轨道模拟
为了让大家能够查询到“天体力学”方面的内容，同时锻炼我的表达和计算能力，BoJone构思了《方程与宇宙》这个主题，主要是写一些关于使用数学相对深入地讨论一些天文问题。其实我一直觉得，不用公式是无法完美地描述科学的（当然也不能纯公式），我记得霍金的《时间简史》以及《果壳中的宇宙》等之类的书，都力求不用或者尽可能少用数学公式来表达自己的观点。这种模式对于对于公众来说是很好的，但是对于希望深入研究的朋友来说却难以进行。所以我主张：宇宙是算出来的！
这个主题每一个字都是由BoJone敲击出来的，其中包括引用了《天体力学引论》里面的一些内容，以及加入了BoJone个人的一些见解。由于篇幅长及时间有限问题，BoJone打算分若干次撰写发布，并且尽可能写得通俗一点，力求让有一点微积分基础的朋友就可以弄懂。这里首先发布第一部分。由于时间匆忙等原因，可能会出现一些疏忽，欢迎大家挑错！
27
Mar
《方程与宇宙》:活力积分和开普勒方程(二)
By 苏剑林 | 2010-03-27 | 56878位读者 | 引用
二体运动
在上一回的讨论中，我们已经解决了大部分的问题，并且表达了找到r或者$\theta$关于时间t的函数的希望。在最后的内容中，我们做了以下工作：
由(7)得到$\dot{\theta}=h/r^2$，代入(6)得到：
$$\ddot{r} -h^2/r^3=-\frac{\mu}{r^2}\tag{10}$$这是一个二阶微分方程，它的解很容易找出，但是这个积分太复杂：
$$\dot{r}\frac{d\dot{r}}{dr}=h^2/r^3-\frac{\mu}{r^2}$$
$\dot{r}d\dot{r}=(h^2/r^3-\frac{\mu}{r^2})dr$，两端积分
$$\dot{r}^2={2\mu}/r-h^2/r^2+K_1\tag{11}$$$$\Rightarrow {dt}/{dr}=\frac{r}{\sqrt{K_1 r^2+2\mu r-h^2}}$$
$t=\int \frac{r}{\sqrt{K_1 r^2+2\mu r-h^2}}dr$
3
Apr
《方程与宇宙》:抛物线与双曲线轨道(三)
By 苏剑林 | 2010-04-03 | 50152位读者 | 引用
21
Feb
把地球放到“宇宙中心”...
By 苏剑林 | 2010-02-21 | 29563位读者 | 引用
27
Feb
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