这是一道很多时候都会考到的题目：
比较$n^{n+1}$与$(n+1)^n$的大小（其中n非负）。

在小学我们会使用直接计算；
在初中我们会从一些例子找规律；
在高中我们就会直接去证明了。

这道题目的答案是：当n>e时，有$n^{n+1}>(n+1)^n$。

我给出的证明有两个：

证明一：

要证$n^{n+1}>(n+1)^n$，等价于证明$n>\frac{(n+1)^n}{n^n}=(1+1/n)^n$。

而在研究e的时候可以知道，对于非负的n，$(1+1/n)^n$是单调递增的；而$\lim_{x->+\infty}(1+1/n)^n=e$，所以$(1+1/n)^n < e$。因此当n>e时，$n>\frac{(n+1)^n}{n^n}=(1+1/n)^n$是成立的。证毕。

证明二：

这个证明相对通用一些，可以用来比较$n^{n+m}$与$(n+m)^n$等情况。现在只讨论m=1的情况。

函数$(\frac{ln x}{x})'=\frac{1-ln x}{x^2}$，当x>e时，$\frac{1-ln x}{x^2}<0$，即此时函数$\frac{ln x}{x}$单调递减。若有e $$\frac{ln a}{a}>\frac{ln b}{b}<\Rightarrow \frac{ln a}{ln b}>\frac{a}{b}$$

而当n>e时，
$$n^{n+1}=(n+1)^{(n+1)\cdot \frac{ln n}{ln(n+1)}}>(n+1)^{(n+1)\cdot \frac{n}{n+1}}=(n+1)^n$$

证毕。

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苏剑林. (Sep. 20, 2009). 《一道从小学到高中都可能考到的题目 》[Blog post]. Retrieved from https://spaces.ac.cn/archives/132

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        title={一道从小学到高中都可能考到的题目},
        author={苏剑林},
        year={2009},
        month={Sep},
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