25 Oct

从费马大定理谈起(十二):再谈谈切线法

首先谈点题外话,关于本系列以及本博客的写作。其实本博客的写作内容,代表了笔者在这段时间附近的研究成果。也就是说,我此时在写这篇文章,其实表明我这段时间正在研究这个问题。而接下来的研究是否有结果,有怎样的结果,则是完全不知道的。所以,我在写这篇文章的时候,并不确定下一篇文章会写些什么。有些类似的话题,我会放在同一个系列去写。但不管怎样,这些文章可能并不遵循常规的教学或者学习思路,有些内容还可能与主流的思想方法有相当出入,请读者见谅,望大家继续支持!

上一篇我们谈到了切线法来求二次和三次曲线的有理点。切线法在寻找不高于三次的曲线上的有理点是很成功的,可是对于更高次的曲线有没有类似的方法呢?换句话说,有没有推广的可能性。我们从纯代数的角度来回复一下切线法生效的原因。切线法,更一般的是割线法,能够起作用,主要是因为如果有理系数的三次方程有两个有理数的根,那么第三个根肯定是有理数。如果只有一个已知的有理根,那么就可以让两个根重合为已知的那个根,从而割线变成了切线。

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27 Oct

算符的艺术:差分、微分与伯努利数

两年前,笔者曾写过《算子与线性常微分方程》两篇,简单介绍了把线形常微分方程算符化,然后通过对算符求逆的方法求得常微分方程的通解。而在这篇文章中,笔者打算介绍关于算符类似的内容:差分算符、微分算符以及与之相关的伯努利数(Bernoulli数)。

我们记$D=\frac{d}{dx}$,那么$Df=\frac{df}{dx}$,同时定义$\Delta_t f(x)=f(x+t)-f(x)$,并且记$\Delta \equiv \Delta_1 =f(x+1)-f(x)$,这里我们研究的$f(x)$,都是具有良好性态的。我们知道,$f(x+t)$在$t=0$附近的泰勒展式为
$$\begin{aligned}f(x+t)&=f(x) + \frac{df(x)}{dx}t + \frac{1}{2!}\frac{d^2 f(x)}{dx^2}t^2 + \frac{1}{3!}\frac{d^3 f(x)}{dx^3}t^3 + \dots\\
&=\left(1+t\frac{d}{dx}+\frac{1}{2!}t^2\frac{d^2}{dx^2}+\dots\right)f(x)\\
&=\left(1+tD+\frac{1}{2!}t^2 D^2+\dots\right)f(x)\end{aligned}$$

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28 Oct

在Python中使用GMP(gmpy2)

之前笔者曾写过《初试在Python中使用PARI/GP》,简单介绍了一下在Python中调用PARI/GP的方法。PARI/GP是一个比较强大的数论库,“针对数论中的快速计算(大数分解,代数数论,椭圆曲线...)而设计”,它既可以被C/C++或Python之类的编程语言调用,而且它本身又是一种自成一体的脚本语言。而如果仅仅需要高精度的大数运算功能,那么GMP似乎更满足我们的需求。

了解C/C++的读者都会知道GMP(全称是GNU Multiple Precision Arithmetic Library,即GNU高精度算术运算库),它是一个开源的高精度运算库,其中不但有普通的整数、实数、浮点数的高精度运算,还有随机数生成,尤其是提供了非常完备的数论中的运算接口,比如Miller-Rabin素数测试算法、大素数生成、欧几里德算法、求域中元素的逆、Jacobi符号、legendre符号等[来源]。虽然在C/C++中调用GMP并不算复杂,但是如果能在以高开发效率著称的Python中使用GMP,那么无疑是一件快事。这正是本文要说的gmpy2

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30 Oct

只有两个四阶群和六阶群

我们上近世代数课的时候,老师谈到在同构意义之下只有两个不同的四阶群,六阶群也是只有两个,还说到这是代数的研究生入学考试题目。说到这样了,我就饶有兴致地研究了一下,发现只有两个互不同构的四阶群这几乎是显然的,感觉这题用来做研究生考试题太水了吧?接着分析了一下六阶的情况,发现复杂了不少(元素增加)。而今天在实变函数课的时候,想到了一个简化的技巧,遂也证明了只有两个互不同构的六阶群。把结果和研究过程贴在这里,与大家分享。

两个四阶群

不管是四阶群还是六阶群,它们都是有限群。有限群的一个特点就是,可以把它们的乘法表写出来(只要不怕麻烦~~)。既然要研究四阶群的数目,我们只需要列出四阶群的乘法表就行了。设四阶群为$G_4=\{e, a, b, c\}$,其中$e$是单位元,根据这些信息,我们至少可以写出乘法表的一部分:
$$\begin{array}{c|cccc}
\cdot & e & a & b & c \\
\hline
e & e &a &b &c \\
a & a & & & \\
b & b & & & \\
c & c & & & \end{array}$$

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12 Nov

特殊的通项公式:二次非线性递推

特殊的通项公式

对数学或编程感兴趣的读者,相信都已经很熟悉斐波那契数列了

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

它是由
$$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,\quad a_0=0,a_1=1$$
递推所得。读者或许已经见过它的通项公式
$$a_{n}=\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \left[\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{n} - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]$$
这里假设我们没有如此高的智商可以求出这个复杂的表达式出来,但是我们通过研究数列发现,这个数列越来越大时,相邻两项趋于一个常数,这个常数也就是(假设我们只发现了后面的数值,并没有前面的根式)
$$\beta=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}=1.61803398\dots$$

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13 Feb

Designing GANs:又一个GAN生产车间

在2018年的文章里《f-GAN简介:GAN模型的生产车间》笔者介绍了f-GAN,并评价其为GAN模型的“生产车间”,顾名思义,这是指它能按照固定的流程构造出很多不同形式的GAN模型来。前几天在arxiv上看到了新出的一篇论文《Designing GANs: A Likelihood Ratio Approach》(后面简称Designing GANs或原论文),发现它在做跟f-GAN同样的事情,但走的是一条截然不同的路(不过最后其实是殊途同归),整篇论文颇有意思,遂在此分享一番。

f-GAN回顾

《f-GAN简介:GAN模型的生产车间》中我们可以知道,f-GAN的首要步骤是找到满足如下条件的函数$f$:

1、$f$是非负实数到实数的映射($\mathbb{R}^* \to \mathbb{R}$);

2、$f(1)=0$;

3、$f$是凸函数。

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17 Nov

[转载] 做数学一定要是天才吗?

(译自 陶哲轩 博客, 译者 liuxiaochuang)
(英文原文:Does one have to be a genius to do maths?)

这个问题的回答是一个大写的:不!为了达到对数学有一个良好的,有意义的贡献的目的,人们必须要刻苦努力;学好自己的领域,掌握一些其他领域的知识和工具;多问问题;多与其他数学工作者交流;要对数学有个宏观的把握。当然,一定水平的才智,耐心的要求,以及心智上的成熟性是必须的。但是,数学工作者绝不需要什么神奇的“天才”的基因,什么天生的洞察能力;不需要什么超自然的能力使自己总有灵感去出人意料的解决难题。

大众对数学家的形象有一个错误的认识:这些人似乎都使孤单离群的(甚至有一点疯癫)天才。他们不去关注其他同行的工作,不按常规的方式思考。他们总是能够获得无法解释的灵感(或者经过痛苦的挣扎之后突然获得),然后在所有的专家都一筹莫展的时候,在某个重大的问题上取得了突破的进展。这样浪漫的形象真够吸引人的,可是至少在现代数学学科中,这样的人或事是基本没有的。在数学中,我们的确有很多惊人的结论,深刻的定理,但是那都是经过几年,几十年,甚至几个世纪的积累,在很多优秀的或者伟大的数学家的努力之下一点一点得到的。每次从一个层次到另一个层次的理解加深的确都很不平凡,有些甚至是非常的出人意料。但尽管如此,这些成就也无不例外的建立在前人工作的基础之上,并不是全新的。(例如, Wiles 解决费马最后定理的工作,或者Perelman 解决庞加莱猜想的工作。)

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20 Jan

我是一个费曼迷

前几天在台湾购买(淘宝代购)的《费曼统计力学》和《费曼计算学》在今天到手了,至此,我的费曼著作收藏基本完成了。

费曼重力学、统计力学和计算学

费曼重力学、统计力学和计算学

我是一个费曼迷,为费曼的小飞侠人格所吸引,为费曼的物理才能所折服。因此,我甚至像普通人追星那样追崇费曼,收藏他的书籍,还有学习他所发明的物理。

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