9 Apr

一个非线性差分方程的隐函数解

问题来源

笔者经常学习的数学研发论坛曾有一帖讨论下述非线性差分方程的渐近求解:
$$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n^2},\, a_1=1$$
原帖子在这里,从这帖子中我获益良多,学习到了很多新技巧。主要思路是通过将两边立方,然后设$x_n=a_n^3$,变为等价的递推问题:
$$x_{n+1}=x_n+3+\frac{3}{x_n}+\frac{1}{x_n^2},\,x_1=1$$
然后可以通过巧妙的技巧得到渐近展开式:
$$x_n = 3n+\ln n+a+\frac{\frac{1}{3}(\ln n+a)-\frac{5}{18}}{n}+\dots$$
具体过程就不提了,读者可以自行到上述帖子学习。

然而,这种形式的解虽然精妙,但存在一些笔者不是很满意的地方:

1、解是渐近的级数,这就意味着实际上收敛半径为0;
2、是$n^{-k}$形式的解,对于较小的$n$难以计算,这都使得高精度计算变得比较困难;
3、当然,题目本来的目的是渐近计算,但是渐近分析似乎又没有必要展开那么多项;
4、里边带有了一个本来就比较难计算的极限值$a$;
5、求解过程似乎稍欠直观。

当然,上面这些缺点,有些是鸡蛋里挑骨头的。不过,也正是这些缺点,促使我寻找更好的形式的解,最终导致了这篇文章。

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12 Nov

特殊的通项公式:二次非线性递推

斐波那契数列的特殊通项公式

对数学或编程感兴趣的读者,相信都已经很熟悉斐波那契数列了

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

它是由
$$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,\quad a_0=0,a_1=1$$
递推所得。读者或许已经见过它的通项公式
$$a_{n}=\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \left[\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{n} - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right]$$
这里假设我们没有如此高的智商可以求出这个复杂的表达式出来,但是我们通过研究数列发现,这个数列越来越大时,相邻两项趋于一个常数,这个常数也就是(假设我们只发现了后面的数值,并没有前面的根式)
$$\beta=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}=1.61803398\dots$$

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