只有两个四阶群和六阶群

我们上近世代数课的时候，老师谈到在同构意义之下只有两个不同的四阶群，六阶群也是只有两个，还说到这是代数的研究生入学考试题目。说到这样了，我就饶有兴致地研究了一下，发现只有两个互不同构的四阶群这几乎是显然的，感觉这题用来做研究生考试题太水了吧？接着分析了一下六阶的情况，发现复杂了不少（元素增加）。而今天在实变函数课的时候，想到了一个简化的技巧，遂也证明了只有两个互不同构的六阶群。把结果和研究过程贴在这里，与大家分享。

两个四阶群

不管是四阶群还是六阶群，它们都是有限群。有限群的一个特点就是，可以把它们的乘法表写出来（只要不怕麻烦~~）。既然要研究四阶群的数目，我们只需要列出四阶群的乘法表就行了。设四阶群为$G_4=\{e, a, b, c\}$，其中$e$是单位元，根据这些信息，我们至少可以写出乘法表的一部分：
$$\begin{array}{c|cccc}
\cdot & e & a & b & c \\
\hline
e & e &a &b &c \\
a & a & & & \\
b & b & & & \\
c & c & & & \end{array}$$
接着考虑$a^2$的结果。它只能为$e$或$b$（如果是等于$c$，那么跟等于$b$是等价的），我们分别考虑它们。

如果为$e$，那么就在相应的位置填写$e$。同时，要注意：乘法表中每行、每列的结果都是不能重复的（有限群的重排），这使得乘法表的构造就像数独的推理一般了！因此，填完$a^2=e$之后，我们就可以将乘法表的填写推至
$$\begin{array}{c|cccc}
\cdot & e & a & b & c \\
\hline
e & e &a &b &c \\
a & a &e &c &b \\
b & b &c & & \\
c & c &b & & \end{array}$$
于是剩下的四个空，不是$\begin{array}{c}{a}&{e}\\{e}&{a}\end{array}$就是$\begin{array}{c}{e}&{a}\\{a}&{e}\end{array}$了。不难证明两种情况都构成一个群的乘法表，于是成功构造了两个四阶群的“乘法表”：
$$\begin{array}{c|cccc}
\cdot & e & a & b & c \\
\hline
e & e &a &b &c \\
a & a &e &c &b \\
b & b &c &e &a \\
c & c &b &a &e \end{array} \quad\text{和}\quad \begin{array}{c|cccc}
\cdot & e & a & b & c \\
\hline
e & e &a &b &c \\
a & a &e &c &b \\
b & b &c &a &e \\
c & c &b &e &a \end{array}$$
这两个群分别是Klein四元群和四阶循环群。另外一个情况是$a^2=b$，这种情况是一气呵成的（填完$b$之后，剩下的都出来了）：
$$\begin{array}{c|cccc}
\cdot & e & a & b & c \\
\hline
e & e &a &b &c \\
a & a &b & & \\
b & b & & & \\
c & c & & & \end{array}\quad\to\quad\begin{array}{c|cccc}
\cdot & e & a & b & c \\
\hline
e & e &a &b &c \\
a & a &b &c &e \\
b & b &c & & \\
c & c &e & &
\end{array}\quad \to \quad \begin{array}{c|cccc}
\cdot & e & a & b & c \\
\hline
e & e &a &b &c \\
a & a &b &c &e \\
b & b &c &e &a \\
c & c &e &a &b
\end{array}$$
这只不过是四阶循环群的另一种写法。因此有且仅有这两种情况。

两个六阶群

到了六阶，我们的“数独”就不大好做了，因为元的个数增多了，于是已知信息相对减少了。玩过数独的朋友都知道，初始信息越少的数独往往越困难。我们利用群的一些性质，简化我们的推理。

由于是有限群，因此六阶群里的每个元的阶都是有限的，而且根据拉格朗日定理，元素的阶只能是群的阶6的因子。现在我们假设$a$是六阶群里阶最大的元（之一），那么$|a|$等于6,3或2。如果$|a|=6$，那么就表明这个群就是六阶循环群，这是第一种情况，考虑完毕。（果然，换一个角度，快很多~~）

第二种情况$|a|=3$，即$a^3=e$，那么我们就知道了群里的三个元：$e,a,a^2\equiv b$，设第四个元为$c$，那么根据假设$c$的阶只能为3或2（即不能大于3）。但是$|c|=3$是不可能的，因为如果$|c|=3$，那么群里便多了两个元：$c,c^2$，于是已知群里的五个元了。那$ac$和$ca$呢？它们都不是$e,a,a^2,c,c^2$的任意一个，于是它们都是新的元，然而群是6阶的，因此$ac=ca$，从而$(ac)^3=a^3 c^3=e$，那么$(ac)^2$呢？它显然不是$e,a,a^2,c,c^2,ac$中的任意一个，于是这个群的阶数大于6，矛盾。

如此一来，$|c|=2$，群里多了一个元$c$，考虑$ac$和$ca$，它们都不是$e,a,a^2,c$的任意一个，因此是新元，而且$ac\neq ca$，因为如果一旦$ac=ca$，那么$(ac)^6=a^6 c^6=e$，而且$(ac)^3\neq e,(ac)^2\neq e$，因此$ac$的阶是6！这跟$a$的阶最大是矛盾的，因此$ac\neq ca$，这样一来群的六个元都出来了：$e,a,a^2,c,ac,ca$，于是不难列出乘法表：
$$\begin{array}{c|cccccc}
\cdot & e & a & a^2 & c & ac & ca \\
\hline
e & e & a &a^2 &c &ac &ca \\
a & a & a^2 &e &ac &ca &c \\
a^2 & a^2 & e &a &ca &c &ac\\
c & c & ca &ac &e &a &a^2 \\
ac & ac & c &ca &a^2 &e &a\\
ca & ca & ac &c &a &a^2 &e
\end{array}$$

最后一种情况是$|a|=2$，那么这种情况有没有可能呢？如果$|a|=2$，那么只知道群里的两个元$e,a$，考虑第三个元$b$，它的阶只能是$2$，那么现在已知三个元$e,a,b$，同样考虑$ab,ba$，如果它们不等，那么我们就知道群里的五个元。可是第六个元怎么办呢？如果添加一个新元$c$，那么就会产生新元$ac$等，这导致群的阶数大于6！但是就算$ab=ba$也不行，因为此时就有四个元素$e,a,b,ab$，添加一个新元$c$，那么$ac,abc$都是不同的新元，这样群的阶数还是大于6！两种情况都导致矛盾。

因此有且只有两个互不同构的六阶群。

n阶？

六阶群的分析篇幅已经那么长了，如果读者想去分析八阶群的个数，那就需要很大的勇气和毅力了（答案是5个）。当然，如果要分析九阶和十阶群，反而会简单些，答案是2个，复杂程度很大程度上取决于阶数$n$的因子个数。部分的结果可以参考：
http://zh.wikipedia.org/wiki/小群列表

http://www.douban.com/note/245316892/

虽然我们上述分析篇幅之长，显得有点笨拙，但事实上，就算是运用其他方法，我们所得到的结果也不比这里的方法能得到的结果多很多。互不同构的n阶群的数目以及具体构造，是相当困难的题目，我们至今没有一个能够对于给定的n，求出互不同构群的数目的公式。来自baike.com的资料表明，即便是考虑有多少个互不同构的$p^k$阶群，也是一个艰难的问题，迄今只解决了当p为奇素数且k≤6时以及当p=2且k≤7时$p^k$阶群的个数问题。

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