科学空间|Scientific Spaces

如图是一个三角形，要求三角形的外角和。外角和定义为“多边形每一个内角的补角之和”，比如这里的∠DAC+∠FCB+∠EBA。当然，这里一般指的是凸多边形。

三角形的外角和 (1)

显然，这并不是一个什么大难题，答案是360度，方法有很多，直接用内角和公式计算、想象成旋转一周甚至你亲自去测量一下都行。但我觉得最妙的方法无疑是下面的方法。

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在上一篇文章《抛物线内的一根定长弦》中，我们解决了抛物线内的定长弦中点轨迹问题，那还算是一个比较简单的问题。虽然同是圆锥曲线，但把同样的问题延伸到椭圆上，却不是那么简单了。因为椭圆的轨迹方程的x,y坐标通过平方相互“纠缠”在一起，不像抛物线方程那样可以容易分离开来（指的是分离成$y=f(x)$的形式）。BoJone尝试了若干种方法，还是难以把它的轨迹求出来。最后通过“化圆法”，终得轨迹方程。

椭圆内的定长弦1

所谓化圆法，就是将椭圆通过拉伸变成一个圆，利用圆的性质来解决一些问题。众所周知，相比椭圆，圆具有相当多的简单性。这是我高考前研究各种各样的高考圆锥曲线题时，所总结出来的一种方法。有时候，把椭圆拉伸为圆后，结论就相当显然了；同时，圆作为一个特殊的椭圆，椭圆的一般结论，放在圆上自然也是成立的。所以要研究椭圆问题，不妨先研究它的特例——圆问题；另一方面，利用圆的对称性等等，也可以大幅度地减少计算量，所以BoJone很喜欢这个方法。更想不到的是，它居然在求本文的轨迹时派上用场了。

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宇宙驿站维修期间，BoJone曾经想过用自己的电脑来搭建服务器，建立一个临时页面。但后来发现经常开着电脑不大好，就没有这样做了。不过如何在自己的电脑上搭建服务器，还是值得笔记一下的。

BoJone还在使用WinXP专业版系统，最标准的方法当然是使用IIS，可以一气呵成。但是考虑到IIS需要配置挺多东西的，所以就没有这样做了。所以自己在网上下载一些小软件，“拼凑”成了一个临时服务器。这样的方法也能够很方便地应用到各个Windows系统。

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华南师范大学 校徽

高考早已成为了历史，报考、录取等也已经成为了过去，由于高考发挥不大好，所以最终我进了华南师范大学的数学勷勤创新班，在石牌校区（华师本部）的数学科学院。

有人曾问我考得这样的成绩遗憾吗？我说的确会有些遗憾，毕竟当初很有大志地冲着更加名牌的大学；不过要是问我后不后悔这样过了高三，我会坚决地说绝不后悔，而且我会非常高兴我是这样过了。（备考、研究、玩闹......）不管怎样，我会好好把握在大学的日子，专心研究，细细品味。我不相信一个大学就可以决定我的人生，但我肯定我的大学将会是我人生中重要的一部分。

要问我未来的计划，我只能说没有什么计划。是呀，未来这么远，这么“混沌”，怎么可能预测的了呢？不过还是可以“定性”地估计一下大概方向的，以后就想做研究型的工作，虽然学习的是数学，但还是努力将其结合物理一起来学吧。所以以后可能从事物理或数学相关工作，当然，要是这些都实现不了的话，我还可以去当一个老师，毕竟，教育也是我挺有兴趣的领域（尤其是看了宝莱坞的《三个傻瓜》之后）。如果自己不是人才，就希望能够培养一些人才出来^_^。

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农村的一个习俗就是孩子上大学了，一般要摆个大学酒，请亲朋好友们一起庆祝一番，说是光宗耀祖等等。那仪式好比婚礼仪式那样隆重......

这几天都是同学们摆大学酒的日子，10号去了东城镇喝老朱的大学酒，还要麻烦老朱他们免费接送，真的有点过意不去呀；11号是我自己的大学酒，叫了一群同学来，最后到场的有二十五个^_^，大家一起在村子礼堂二楼“包场”；12号是大宇和芬姐的，两边都答应了，所以中午去大宇那儿吃了一顿，下午去芬姐那玩了一番......

其实，于我们而言，大学酒就是一场同学们的聚会，藉着这个契机，我们昔日的同窗好友聚在一起，回忆过去，畅谈未来，讲述着我们那说不尽的友谊。我是很庆幸的一个人，三天四个人的大学酒都有我的参与，这至少给了我一些鼓励，这说明我的人际关系还不坏。谢谢邀请我的朋友们。也许很快我们就要真正地各分东西了，但是我相信，很多东西依然会存在我们的心中，那就像一条纽带，将我们紧紧联系在一起，如同天涯咫尺一般。

我相信，有很多地久天长的东西。

大学酒：

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记得几年前，BoJone提供过一个证明均值不等式（代数—几何平均不等式）的方法，但是其中的证明有点长，有点让人眼花缭乱的感觉（虽然里边的思想还是挺简单的）。昨天在上《数学分析》课程的时候，老师讲到了这个不等式，也讲了他的证明，用的是数学归纳法，感觉还是没有那种简洁美和巧妙美。但这让我回想起了之前我研究过的两种巧妙证明方法，可是在昨天划了一整天，都没有把这两种方法回忆起来。直到今天才回想起来，所以就放在这里与大家分享，同时也作备忘之用。

对于若干个非负数$x_i$，我们有
$$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 ... x_n}$$

记为$A_n \geq G_n$

证明1：数学归纳法
这个方法不算简单，但是非常巧妙，它从n递推到n+1的过程让人拍案叫绝。用数学归纳法证明詹森不等式也是同样的递推思路，而均值不等式不过是詹森不等式的一个特例而已。

假设$A_n \geq G_n$成立，要证$A_{n+1} \geq G_{n+1}$。我们有

$$\begin{aligned}&2n A_{n+1}=(n+1)A_{n+1}+(n-1)A_{n+1} \\
=&[x_1 + x_2 +...+x_n]+[x_{n+1}+(n-1)A_{n+1}] \\
\geq &nG_n+n(x_{n+1}\cdot A_{n+1}^{n-1})^{\frac{1}{n}} \\
\geq &2n(G_{n+1}^{n+1}\cdot A_{n+1}^{n-1})^{\frac{1}{2n}}\end{aligned}$$

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本文的最新版本位于：http://kexue.fm/archives/2208/

亲爱的读者朋友们，科学空间版的理解矩阵已经来到了BoJone认为是最激动人心的部分了，那就是关于行列式的叙述。这部分内容没有在孟岩的文章中被谈及到，是我自己结合了一些书籍和网络资源而得出的一些看法。其中最主要的书籍是《数学桥》，而追本溯源，促进我研究这方面的内容的是matrix67的那篇《教材应该怎么写》。本文包含了相当多的直观理解内容，在我看来，这部分内容也许不是正统的观点，但是至少在某种程度上能够促进我们对线性代数的理解。

大多数线性代数引入行列式的方式都是通过讲解线性方程组的，这种方式能够让学生很快地掌握它的计算，以及给出了一个最实际的应用（就是解方程组啦）。但是这很容易让读者走进一个误区，让他们认为线性代数就是研究解方程组的。这样并不能让读者真正理解到它的本质，而只有当我们对它有了一个直观熟练的感觉，我们才能很好地运用它。

行列式的出现其实是为了判断一个矩阵是否可逆的，它通过某些方式构造出一个“相对简单”的函数来达到这个目的，这个函数就是矩阵的行列式。让我们来反思一下，矩阵可逆意味着什么呢？之前已经提到过，矩阵是从一个点到另外一个点的变换，那么逆矩阵很显然就是为了把它变换回来。我们还说过，“运动是相对的”，点的变换又可以用坐标系的变换来实现。但是，按照我们的直觉，不同的坐标系除了有那些运算上的复杂度不同（比如一般的仿射坐标系计算点积比直角坐标系复杂）之外，不应该有其他的不同了，用物理的语言说，就是一切坐标系都是平权的。那么给出一个坐标系，可以自然地变换到另外一个坐标系，也可以自然地将它变换回来。既然矩阵是这种坐标系的一个描述，那么矩阵不可逆的唯一可能性就是：

这个$n$阶矩阵的$n$个列向量根本就构不成一个$n$维空间的坐标系。

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这篇文章估计是这个系列最后一篇了，也许以后会继续谈到线性代数，但是将会独立开来讲述。本文主要讲的是相似矩阵的一些事情，本文的观点很是粗糙，自己感觉都有点模糊，因此请读者细细阅读。在孟岩的文章里头，它对矩阵及其相似有了一个非常精彩的描述：

“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”

同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。

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