均值不等式的两个巧妙证明
By 苏剑林 | 2012-09-26 | 53440位读者 |记得几年前,BoJone提供过一个证明均值不等式(代数—几何平均不等式)的方法,但是其中的证明有点长,有点让人眼花缭乱的感觉(虽然里边的思想还是挺简单的)。昨天在上《数学分析》课程的时候,老师讲到了这个不等式,也讲了他的证明,用的是数学归纳法,感觉还是没有那种简洁美和巧妙美。但这让我回想起了之前我研究过的两种巧妙证明方法,可是在昨天划了一整天,都没有把这两种方法回忆起来。直到今天才回想起来,所以就放在这里与大家分享,同时也作备忘之用。
对于若干个非负数$x_i$,我们有
$$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 ... x_n}$$
记为$A_n \geq G_n$
证明1:数学归纳法
这个方法不算简单,但是非常巧妙,它从n递推到n+1的过程让人拍案叫绝。用数学归纳法证明詹森不等式也是同样的递推思路,而均值不等式不过是詹森不等式的一个特例而已。
假设$A_n \geq G_n$成立,要证$A_{n+1} \geq G_{n+1}$。我们有
$$\begin{aligned}&2n A_{n+1}=(n+1)A_{n+1}+(n-1)A_{n+1} \\
=&[x_1 + x_2 +...+x_n]+[x_{n+1}+(n-1)A_{n+1}] \\
\geq &nG_n+n(x_{n+1}\cdot A_{n+1}^{n-1})^{\frac{1}{n}} \\
\geq &2n(G_{n+1}^{n+1}\cdot A_{n+1}^{n-1})^{\frac{1}{2n}}\end{aligned}$$
化简即得:$A_{n+1} \geq G_{n+1}$
这就完成了从n到n+1的递推。其他细节略。
证明2:对数方法
这个方法更巧妙,更简单,有可能是我见过的最简单方法了。它利用的一个很简单的公式是对于所有非负数x,有$e^x \geq 1+x$,并且当$x\geq -1$时,两边都是非负数。
(为了方便排版,记$exp(x)=e^x$)
$$\begin{aligned}&\exp\left(\frac{n A_n}{G_n}-n\right) \\ =&\exp\left(\frac{x_1}{G_n}-1\right)\cdot \exp\left(\frac{x_2}{G_n}-1\right)\dots\exp\left(\frac{x_n}{G_n}-1\right) \\ \geq &\frac{x_1}{G_n}\cdot \frac{x_2}{G_n}...\frac{x_n}{G_n} \quad\text{(前面的各项指数部分显然都大于等于-1)}\\ =&1\end{aligned}$$
也就是说
$$\exp\left(n\frac{A_n}{G_n}-n\right) \geq 1$$
稍稍化简就有$A_n \geq G_n$
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October 7th, 2012
第二种方法,前提是nAn/Gn-n>=0(其实是任意xi>=Gn),即An≥Gn,用结论证明结论?
谢谢你的指出,这是我的笔误,实际上
$e^x \geq 1+x$对于任意实数x都成立。
这样前后就不会有矛盾了。
August 23rd, 2018
非常感谢你的分享,看了您的博客学到很多。
$e^x \geq 1 + x$ 确实对于所有实数都成立,但是$e^xx^y \geq (1 + x)(1+y)$并不一定成立(比如在x,y都是小于-1的情况下)。但确实对于这个问题应该是不成立的,因为$\frac{x_i}{G_n}-1 \geq -1$。这里可能欠缺严谨。
个人拙见,如果有说的不对的地方麻烦指出。
再次感谢分享!
你是严谨的,是我没有把问题描述严谨,感谢指出。