科学空间|Scientific Spaces

很多读者都知道，反射望远镜、射电望远镜、太阳能集热器等都有一个抛物状的面，它们都是利用了抛物面能将平行射入的光汇聚到一个点（焦点）上的性质。如果问为什么抛物面具有此性质，相信很多高中生都可以利用抛物线的相关知识来证明。但是，如果反过来问：为什么具有此性质的曲面是抛物面？相信会难倒一部分读者。我们来尝试寻找这一曲线（由于对称的原因，这个曲面可以看作由曲线旋转而成，因此我们可以研究曲线）。

世上最大单孔径射电望远镜

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在《为什么是抛物线？——聚光面研究》这篇文章里头，我们从光学性质出发，推导出了符合该光学性质的曲线为抛物线，同时我们也不禁感到了向量分析的美妙。也许有的读者会意犹未尽：圆锥曲线有三种，文章只介绍了一种。那好，在这篇文章里，我们就从另外两个光学性质出发，推导出符合这两个光学性质的曲线（椭圆、双曲线）。

（注：在下面的描述中，橙色加粗向量表示光线，曲线表示反射面。）

一、从一个点发出的光线经过曲线（面）反射后汇集到另外一个点上。

椭圆的光学性质

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附：期中考过后，课程紧了，自由时间少了，因此科学空间的更新也放缓了。不过BoJone也会尽量地更新一些内容，和大家一同分享学习的乐趣。

闭区间[a,b]上的连续函数?(x)，其最大值为红色点，最小值为蓝色点

上一周和这一周的时间里，BoJone将自己学习物理和极值的一些内容进行了总结和整合，写成了《自然极值》一文。因此从今天起，到十二月的大多数时间里，科学空间将和大家讲述并讨论关于“极值”的问题，希望读者会喜欢这部分内容。当然，我不是专业的研究人员，更不是经验丰富的物理和数学教师，甚至可以说是一个“乳臭未干的小子”，因此，错误在所难免，只希望同好不吝指出，更希冀能够起到我抛出的这一块“砖”能够引出美妙的“玉”。

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物理学的美不仅仅表现在简洁的公式上。我们还惊奇地发现，很多物理现象都是按照使某个变量达到极值的方式发生。一个典型的例子就是费马原理，它指出了光的传播路径的一个重要规律：光总是沿着所花时间最短的路径传播。这里我们将简单介绍一下费马原理。

费马原理俗称“最快到达原理”、“最小时间原理”。1657年，费马提出：

从P点到达Q点，在所有可行的路径中，光选择了所需时间最短的一条。

从P点到达Q点，在所有可行的路径中，光选择了所需时间为极值的一条。

这是一个极其奇妙的原理，也是自然界中最神奇的极值之一。作为非生物的光，居然自主地选择了最优路径，成为世界上“效率最高”的东西，这让人不得不佩服宇宙的伟大。这究竟是造物者的精心设计，还是无心之作？

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黄果树大瀑布

光学定律无疑是一个美妙的原理，而自然界中还存在另外一个我们随处可见的“公理”。平时的生活中，我们总能看见“水往低处流”的现象，这是因为水处于地球重力场的结果（也正因为如此，某些轻生者的自杀活动才得以顺利进行；当然，我们并不需要为了验证这一点而亲自试验。）。由此我们可以联想到一个名词：重力势能。“水往低处流”意味着什么呢？高度变低了。高度更低意味着什么呢？重力势能降低了！换句话说，自然界中物体有趋于势能最低的倾向。我们可以从这个角度来解释：体系总有趋于稳定的倾向，而拥有的能量（势能）越高，则越不稳定。

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通过上面众多的文字描述，也许你还不大了解这两个原理有何美妙之处，也或者你已经迫不及待地想去应用它们却不知思路。为了不至于让大家产生“审美疲劳”，接下来我们将试图利用这两个原理对费马点问题进行探讨，看看原理究竟是怎么发挥作用的。运用的关键在于：如何通过适当的变换将其与光学或势能联系起来。

费马点问题

传统费马点问题是指在ΔABC中寻找点P，使得$AP+BP+CP$最小的问题；而广义的费马点则改成使$k_1 AP+k_2 BP+k_3 CP$最小。这是很具有现实意义的，是“在三个村庄之间建立一个中转站，如何才能使运送成为最低”之类的最优问题。我们将从光学和势能两个角度对这个问题进行探讨（也许有的读者已经阅读过了利用重力的原理来求解费马点，但是我想光学的方法依然会是你眼前一亮的。）

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月全食-2010-12-21

从2007年初到今天，笔者编写的天象预报已经陪伴了大家四年。如今又是一年即将过去，就让笔者以回顾今年的精彩天象的方式作为本期的幵篇。虽然缺少了在我国境内可观测的日全食，但今年天象的精彩程度毫不逊于前两年。1月15日的日环食再次掀起了一股天文热，我国环食带内大部分地区的观测也非常成功。希望12月的月全食发生时东北地区的天气可以一如既往地天随人愿。暑期的英仙座流星雨依旧表现抢眼，相信大家必然对年末的双子座流星雨充满了期待。此外，6月26日的月偏食和8月中旬的四星伴月或许也给您留下了深刻的印象。彗星方面,非周期彗星C2009 R1相当惊艳，不但亮度一度达4等左右，在许多爱好者拍摄的照片中两条彗尾也清晰可见。10月103P彗星经过近日点，也达到了肉眼可见的亮度，但彗尾很不明显。总之，2010年不乏颇具看点的精彩天象，作为天文爱好者的你一定是收获颇丰。接下来，我们就来看看2010年最后一个月即将发生的精彩天象吧。

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如果说前面关于这个系列的内容还不能使得读者您感到痛快，那么接下来要讲述的最速降线和悬链线问题也许能够满足你的需要。不过在进入对最速降线问题的理论探讨之前，我们先来讲述一个发生在17世纪的激动人心的数学竞赛的故事。我相信，每一个热爱数学和物理的朋友，都将会为其所振奋，为其所感动。里边渗透的，不仅仅是一次学术的竞争，更是一代又一代的人对真理的追求与探路的不懈精神。

（以下内容来源于网络，科学空间整理）

意大利科学家伽利略在1630年提出一个分析学的基本问题── “一个质点在重力作用下，从一个给定点A到不在它垂直下方的另一点B，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。”这算是这个著名问题的起源了（为什么别人没有想起这个问题呢？所以说大科学家的素质就是思考、创新，要有思想，人没有思想，就和行尸走肉没有什么区别）。可惜的是伽利略说这曲线是圆，但这却是一个错误的答案。

Brachistochrone

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