科学空间|Scientific Spaces

2^29363731-1

很小的时候就开始对素数感兴趣了，后来是在一本《未解之谜》上看到了梅森素数、完全数、孪生素数等等东西，觉得甚是好玩。在初中买了计算机之后，就关注到了Prime 95这个梅森素数的分布式计算程序，以前也尝试过运行它，不过由于那时候计算机配置较低，一般都是运行到20%左右就没有坚持下去了。

上大学入手了一台四核的笔记本，就在去年10月份左右再次运行了这个程序，由于是四核，一次性可以同时测试四个数字。经过半年的运行，今天终于测试完了第一个数字：$2^{29363731}-1$。正如预料中的，这不是一个素数。不管怎样，它是我第一个完成的测试，也算是自己的一个独立的成果啦，呵呵，自娱自乐一番。

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第二个数字也测试完了，$2^{29365247}-1$也不是一个素数。继续努力！

[Comm thread Apr 9 12:22] Sending result to server: UID: bojone/bojone, M29365247 is not prime. Res64: AFA532C54A91F89B. We4: D8A82DF8,3429750,00000000, AID: C
[Comm thread Apr 9 12:22]
[Comm thread Apr 9 12:22] PrimeNet success code with additional info:
[Comm thread Apr 9 12:22] LL test successfully completes double-check of M29365247
[Comm thread Apr 9 12:22] CPU credit is 29.2021 GHz-days.
[Comm thread Apr 9 12:22] Done communicating with server.

这是第三个结果，估计明天会有第四个结果。运行完这四个后就让电脑好好休息一下了，呵呵。
同样，$2^{29365451}-1$也不是素数！

[Comm thread Apr 14 14:51] Sending result to server: UID: bojone/bojone, M29365451 is not prime. Res64: C3207F669EEAE07E. We4: 46622147,3026845,00000000, AID:
[Comm thread Apr 14 14:51]
[Comm thread Apr 14 14:51] PrimeNet success code with additional info:
[Comm thread Apr 14 14:51] LL test successfully completes double-check of M29365451
[Comm thread Apr 14 14:51] CPU credit is 29.2023 GHz-days.
[Comm thread Apr 14 14:51] Done communicating with server.

第四个数字也完成了测试，这次的结果依然是否定的：$2^{29360741}-1$不是素数！
大概半年内不会有新的结果了，呵呵。

[Comm thread Apr 15 19:04] Sending result to server: UID: bojone/bojone, M29360741 is not prime. Res64: 622E909193F04555. We4: CA6D304A,26268761,00000000, AID:
[Comm thread Apr 15 19:04]
[Comm thread Apr 15 19:05] PrimeNet success code with additional info:
[Comm thread Apr 15 19:05] LL test successfully completes double-check of M29360741
[Comm thread Apr 15 19:05] CPU credit is 29.1976 GHz-days.
[Comm thread Apr 15 19:05] Done communicating with server.

阿达马不等式
设有$n$阶实矩阵$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$，那么它的行列式满足阿达马(Hadamard)不等式
$$\begin{equation}
\left(\det \boldsymbol{A}\right)^2 \leq \prod\limits_{i=1}^{n}\left(a_{1i}^2+a_{2i}^2+\dots+a_{ni}^2\right)
\end{equation}$$

这是阿达马在1893年首先发表的。根据体积就是行列式的说法，上述不等式具有相当明显的几何意义。当$n=2$时，它就是说平行四边形的面积不大于两边长的乘积；当$n=3$时，它就是说平行六面体的体积不大于三条棱长的乘积；高维可以类比。这些结论在几何中几乎都是“显然成立”的东西。因此很难理解为什么这个不等式在1893年才被发现。当然，代数不会接受如此笼统的说法，它需要严格的证明。

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作为量子理论的一个重要定理，不确定性原理总是伴随着物理意义出现的，但是从数学的角度来讲，把不确定性原理的数学形式抽象出来，有助于我们发现更多领域的“不确定性原理”。

本文中，我们将谈及不确定性原理的n维矩阵形式。首先需要解释给大家的是，不确定性原理其实是关于“两个厄密算符与一个单位向量之间的一条不等式”。在量子力学中，厄密算符对应着无穷维的厄密矩阵；而所谓厄密矩阵，就是一个矩阵同时取共轭和转置之后，等于它自身。但是本文讨论一个更简单的情况，那就是n维实矩阵，n维实矩阵中的厄密矩阵就是我们所说的实对称矩阵了。

设$\boldsymbol{x}$是一个$n$维单位向量，即$|\boldsymbol{x}|=1$，而$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$是n阶实对称矩阵。在量子力学中，$\boldsymbol{x}$就是波函数，但是在这里，它只不过是一个单位实向量；并记$\boldsymbol{I}$是$n$阶单位阵。

考虑
$$\bar{A}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x},\bar{B}=\boldsymbol{x}^{T}\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}$$
从这些记号可以看出，这些量对应着可观测量的期望值。当然，如果不懂量子力学，可以只看上面的矩阵形式。

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开水白菜 (1)

如果要用做菜来比喻人生的话，我觉得，人生最高的境界之一便是开水白菜。

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在高中阶段，笔者也像很多学生一样参加过数学竞赛，而在准备数学竞赛的过程中，也做过一些竞赛题，其中当然少不了不等式题目。当时，面对各种各样的不等式证明题，我总是非常茫然，因为看到答案之后，总感觉证明的构造非常神奇，但是每当我自己独立去做时，却总想不出来。于是后来就萌生了“有没有办法可以通用地证明这些不等式？”的想法。为了实现这个目的，当时就想出了本文的技巧——通过牺牲计算的简便性来换取证明的有效性。后来，我虽然没有走上数学竞赛这条路，但这个方法还是保留了下来，近日，在和数学研发论坛的朋友们讨论不等式问题时，重新拾起了这个技巧。

此前，在本博客的文章《对称多项式不等式的“物理证明”》中，已经谈到了这个技巧，只是限制于当时的知识储备，了解并不深入。而在本文中，则进行拓展了。这个技巧在当时是我自己在证明中独立发现的，而现在在网上查找时发现，前辈们（杨路、姚勇、杨学枝等）早已研究过这个技巧，称之为“差分代换”，并且已经探究过它在机器证明中的作用。该技巧可以很一般化地用于齐次/非其次不等式的证明，限于篇幅，本文只谈齐次多项式不等式，特别地，是对称齐次多项式不等式，并且发现某些可以简化之处。

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